LIMITES DE LA SÉRIE DE MACLAURIN

On a : f (a ) == f (0) + (\0]x + f '(0) ^ + . . . +

Donc, si nous prenons pour fx, qui est la somme vraie de la

série infinie

f{0) + P(O)a! + F(O)j^ + elc., la partie

f(0) + f(0)a! + P'(0). — +etc. + f(»-''(0).p^3^^, W l'erreur commise sera exactement

Mais si 6 représente la plus grande , H la plus petite des valeurs de f^")(x), correspondantes aux diverses valeurs de a?, depuis x=0 jusqu'à x=zx, il est clair que l'on aura :

Donc Terreur commise, en prenant le polynôme fini (y), pour la valeur fx de la série infinie , sera comprise entre les limites as* signées par la formule (J).

Dans le plus grand nombre des cas, on trouve les valeurs de H et de G, en faisant dans l'expression f(**î(fix) , « = et f=I.

Nous avons supposé que la série avait tous ses termes positifs » s'ils sont, au contraire, alternativement positifs et négatifs , il est clair que

seront encore les limites de R , car il suffira de changer a? en — x pour que tous les termes de la série reçoivent le même signe. Mais alors M sera la limite inférieure, quand le n + 1" terme est négatif et la limite supérieure quand ce même terme est positif. La formule (J') sert , dans tous les cas , à trouver des limites de plus en plus approchées de la fonction f^, dans le cas où la série proposée est convergente , pour x = a. En effet , soient

f(0) + f'(0)a!4.... +ft«-')(0). ^ + f(»)(0). -— =fl„+,,

f{0)+f'(0)x + ... + 1(»-»)(0). --^— ^ - o„ , On aura : H — f(»HO) , G = f<»>a; , {x=a„+ Rn, et par (*) :

Ajoutons a,, on aura pareillement

«'« + 7^ -P-KO) < fl. + R. < «Ji^- 7^f!"'W,

ou ^•+i<f[x)<fl, + - P«)(x). H