Il

Donc si a est une valeur de x pour laquelle la série proposée est convergente^ Ton voit que la formule

donnera pour î(a) deux limites d'autant plus resserrées que n sera plus grand.

Exemple. Soit fa:=c*, donc P*)x=«*. Prenons

a^, = l + x+^ + ... + jfL, donc n=^i, on aura, par la formule (a) :

*'*"*'^r2"^TT2:3"^ 1.2.3.4 "^ÏTTB '^*'

^ '^^■'' 1.2"*" 1.2.5'*' 1.2.5.4"'" 1-2...5' Pour x= 1 , on a . par la formule (6) :

'^* + *'^r2"^r2^TT273 ■^1.2.3-4"^ 1.2.3. 4-3' Mais on a :

On a donc c> 2,716..., et e<2,708...+Y-^ ou « < Q^yy]^ «" e<2,78....

Donc si Ton veut pousser le calcul de e jusqu'à avoir sept chiffres décimaux exacts , il faudra prendre un nombre de termes de la série

e = i + l+~+f:^ + elc.,

tel que les deux timites, calculées par la formule (fr), ne diffèrent point dans leurs sept premiers chiffres décimaux.

TransfonnatioB de la F^mvle de Haelamte , dans le eas d'iiBe ¥arlaUe iBia^naire.

Soit X imaginaire y et par conséquent de la forme on aura : f (a + fc|/^ ) = f{0) + -+-^ — r(0) +

Posons a + by^ZZi -^ re^^"^ = r(cosî» + >/^ sin p) ;

d'où : r = Ka2 4-6*, p=3arc tg — ^

et fx={(a + bl/^)=xf,{a,b) +K^ ^{a,b) = Re^*^"~^

=R(cos6-{-ï^ — 1 sino) ,

on aura, à la place de la formule 1) , la suivante :

R (cos e + |/^ sin 6) = f(0) + "^ f (0) + l^lll f '(O) -j.

1 M. * Jm

'L^rm+.<..\. (A,

Cette équation se partage en deux, savoir :

R cos 9 = f{0) + '^ m) + C^^m +

r'cosS»^,,,^, , Mais les facteurs coSf>; cos2f>, etc., sin 7, sin2f>; etc., ne pou- ^r

vant surpasser l'unité, il est clair que les séries (« et (fi, sabsisteronl, quand la suivante

f(0)+l.r(0)4-^no)-feic.,

OU Ao + r A| -t- Aa j-^ + etc.,

aura lieu, c'est-à-dire , quand on aura

D*où il suit que la proposée (I aura également lieu sous la eondi-

tion >^«'+6'<rT— rrl > ^»= 4 9 \. '

Il suit encore de là que sous la même condition une série de ta

forme

Ao + (a + 6K'IIIÏ)A, + (a + 6K^)«A, + etc., sera convergente et aura une somme.