B). APPLICATIONS DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE

i. Développement du blBdme.

a) Cas réel. Soit f(x) = (l-fa:)'*, on aura :

et quand on n'a pas ar== — 1, les fonctions f(x) , fo;, r'(«), etc., à Tinfini, ne prendront jamais la forme ^.

On a donc :

A ^ f^'HO) A^U-i)...(A6— n+i) " l.î^...n 1.2... n ^

donc la formule de Maclaurin donne

(l + xr = l + |-x+-j-^a? + j-^-g ^'-Hetc.

Cette formule subsistera pour tout x dont la valeur absolue est plus petite que la valeur absolue du rapport

Donc la formule précédente subsiste pour tout x dont la valeur absolue est plus petite que 4 •

Ou a donc :

CoroU^ J. Soit «=— , on déduit facilement 4k la formule 6 •

Coroll. ^, La formule précédente , connue sous le nom de Binôme de Newton, peut être utilisée pour extrak^i^, piar apju*oximation, des racines élevées des nombres. Si, par exemple, on demandait la racine n** de a, il faudrait choisir pofir «^t fi jJcis !^fl|Burs en(i|éres telles ^ue I!éc[ualion

y étant très-petit par rapport à cf^^ soit satisfaire; «ar ^lors on aura :

b) Cas imaginaire. Soit

acssa + ô*/"— î, /CÉ=m+nK'^;

compie la formuje cte Maclaurin ^ul;)sisie, qudlq^e iûj.t la foo^ tioA et sa ^variable , pourvu qu'elle satisfasse aux conditions d'existence indiquée ci-dessus, il est clair que le binôme

^ (^+..j^)( nH--n|/3:î - 1) ^^^,yrZiy + ,u.,,

subsistera sous la condition de

Remarque. Donnons au premier membre de la formule précédente la forme A + B K — 1 . A cet effet posons

Mais on a :

Iog(p-j-9K— l) = Iog .|j(cosy + l^— 1 siny) = logpe''*^'^,

^iog/,+ y !/:=!,

= log y'p^+q^ + y^ arc tg — ;

donc log (l + a+6|/*^ ) = Iog|/(l+o)«+6* +

|/narctg^.

On a donc aussi :

log l/(l+a)»+ ô- + I/-1 arc tg ~y

et (i+a+ôi/rrf^^' =

(«i+nl/ZÎ) log ^^(l+a)'+6" + (m+n^^ ) ^^~ arc tg -4- P 1+a

f,iog(i+«'+&-)j\^— '^*1[+;

.j 7 — n-arctg

= (l+a'+62^'.e ï+«.jcos[|log(l+a'-|-6«) +

««•arctg-pp- ] + sin[ l\og(l+i^+t?^ + m*^rcigj—]L On a donc

m ht

-r- — -n-arctg -7— 1

«i-arctg Y:p^]+ l^"^sin[|.|og(rH'+**)+»»-arctg— - )j

pour toute valeur de m et de n, quand l^''a*+6* < 1.

Cette expression conduit à beaucoup de formules particulières très-remarquables^ et pour la déduction desquelles nous renvoyons aux OEuvres complètes d'Abel , t. I, p« 87 et suiv.

Par exemple soit a + b\^—l ) = r(cos f + 1/ — 1 sin f) ,

naaO, on aura r+?-{*6* = l+2rcosy4"''*f a=rcoS(p,

6=srsiny, et la formule ci-dessus deviendra :

(l-l-2rcos©4-^*)* IcosTmarclg -7-7- — ^1 •+■ ^ ' ^ ( ^ " 1+rcosy ■"

l^^sin [ w arc tg^q^î^ ] r« l+mr [cosy

^^^'^^ r^ [ cos2y-[-K^ sin 2^ ] + etc.

En comparant les termes réels des deux membres , puis ceux

qui sont multipliés par |/— 1 , cette égalité fournira les deux suivantes :

(l + 2r coso) + r*) * -cos F w-arc tg ■— ?- 1 = 1 -f wir cos « +

. ^ 1 -frcosy •*

.•5^ . .- rsifl4» T- . ,

(l-J-2rcos7-t-r«) ' sin[m.arctg — —— ] = mrsmy +

infm— 1) . ^ w(w — l)(m — 2) , . - , , -i— Ir* sin 2, + \^^^V^ r' s.n 3, + .*tc.

1t» Développement des feoetiens expoiientléiles.

a) Cas réel. Soit fa; = e*, on aura fNjj=e»^ ei par conséquent aucune des ifobetioïis f», fx, f'x, etc. , ne pourra prendre la forme |;. On a de flu«

fN(0) 1

On a ddne là série

c»=!+x-f ^ +ètc.,

pour tout x<5, c'est-à-dire, pour toutes ks valeurs possibles de X.

Si X est négatif, on a :

i^ur Aï«l, on oblîenl

e«4 + i + X 4- *- J. «c. tti 2,74828i8284590... . i*2 i«2»3

b) Cas imaginaire. Soit x»d»a + 6>^^, la formule ci-dessus devient :

Cette tèrmùle sul)$istera pour t6ut% valeur de r:=sV^a* -f- 6* . Posons o+ 6k^^ = r(cosy+l^— ! sinf ), r « l^o*+ 6* ,

«se=arctg — , on aura

= 4 + rcosy+ j-2Cos2f + |-;^cos3f + elc. + Ir^—i j r sin f + ^ sin 2^ f j-^^ sin 3f + etc. J ;

d'où l'on conclut :

e"co8 6 «ss ^4-^''tt»+A' ctfs [ arc tg — ] +

i^ — j-^ cos [2 arc ig - ] + ^-^ ^^Vj— cos [3 arc «g -] + etc..

e«sin6 ■» |/^a»+ b* sin [ arc Ig — ] +

^ ^,2 s'n[2arctg-] + i^-y^^^sin[3arctg-]+elc. Si, dans la formule (I, on fait a» 0, elle donne

+ ^^(*-l43 + ^^*'-^^ On a dooe aussi , en changeant 6 en — 6 :

DexeHbrmuIes on tire, par addition et soustraction :

S. Déveleppemenl des feoetieos logarithmiques.

a) Cas réel. Soit fxBslog(l+x), on aura :

d'où Ton voit que ^ pour «= — 1 excepté, les fonctions (x^fx, V'Xj etc., à Tinfini, ne prennent jan>ais la formel* On a de plus ici