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donc

donc la série

log(l + x)r=»x — ïflc' + }x» — jâfi —etc., subsiste pour tout x, dont la valeur absolue est <^1 ; donc pour — i<x<l.

Si X est négatif on a :

Iog(l — a?)=^-^a?— jx*— jx^— {ac* — etc., — l<x<l.

En retranchant la seconde de ces formules de la première ^ il vient :

Soit z = -î , d'où x= — -r- , on aura :

Comme on a log(o-f-6) = logo-|-Iog(i+— ),onaura aussi:

logC

fl+b)=loga^{l)-iQty + i(^y-.etc.,

Cette formule donne fog(a+6) , quand on connaît loga. Comme on a identiquement

, 2a -h6 log (a + 6)= log a + log { —

^2a + b on trouve, par la formule (a) :

log(«+6)==Iog«f2J(^^) + K2^)' + etc.| ' Cette formule converge plus rapidement que la précédente , dé

plus elle subsiste quelques soient les nombres aeib, supposes positifs, car on aura toujours ^ < 1 .

Comme on a x=: e^<>8* = a^»*, on en déduit

Logrrssa- •logx. =M*logar« M=r ,

loga "^ "" logo

Donc le logarithme de x, a étant la base, se trouve en muiti' pliant le logarithme népérien de x par la constante

M= ï- — = loge, loga

nommée Module.

Exemple. Soit a =10, base des logarithmes de Briggs, on aura log 1 « 2 . 30258509 . • . , et

b) Ca& imaginaire. Soit x^^a-^h)^ — 1 = re^ ~"^

« r(cosy + 1/^ sin 9)), on aura :

i(a+6>/^)3 -etc.,

Ou.-

Iog|/ (1 + af + 62 4- |/Z1 arctg — — =rcosy— — cos2© +

•=-cos35» — etc. +K —1 Jrsinj)— -^ sin 2y -)- — sin3j>— elc.î.

De cette équation on conclut les suivantes :

Iog|/(l+a)«+6« = Vl?+b^co% (arctg * ) -

arc

1 (l/T+p )« cos (2 arc »g -) + i (|/a*+6' )» cos (Sarc tg-)-ctc.,

tg — r-p »k^a'-f 6' sin ( arc Ig— )

Kl^a»+6' )2sin(2arc tg-.)+i(>^«'+ 6')' sin (Sarctg- ) — etc.

Ces formules peuvent aussi s'écrire de cette manière

5log(1 + 2rcos9-j-r')ç«rcoSf»— — co82f + ^cosSf» — etc.,

arc Ig r— r— = rsmy — — sin 2y + -^ stn Sf — elc. ;

^ 1 + r sin y 2 3

car on a r=v a^-^-b^ 9)=arctg —, cosf>=«

sin y «•

Ces séries subsistent pour — 1 <r-<l.