II
trouvées d-^dessus, et q^ ont Ueu pour tout x. Remarque. Les équations
cosa: ^ , sinx '^p== ,
donnent
r c**''^""* = cosx+»/^sinx, ( ,.
Donc en faisant sin x = 9 ou x =^ arc sîn ç , on aura :
donc en prenant les logarithmes :
f^^ arc sin.ç = Fog |l^"r=V + f^^"^ j ,
ou arc sîn • ji =--==: log îKl — f' + î»!^— ij. On trouverait de méime :
arc cos . y = log | ? + K — i 1^1— -^ |.
2" En divisant les équations (1 ^ on en tire
Sajk'^ cosx + k' — 1 sinx 1+1/ — i tga
e =s ^^^^^ == zznz •
cos:«— |/— 1 sinx i— >/ — 1 tgx
Donc en posant lgx=|>» x=aretg*|), on aura , en prenant les logarithmes :
arc tg«»=: i=ilogi — ' ' y.
/S) Cas imaginaire. Si dans les formules
sin 6 = —= , cos 6 = 1- ,
on change b en bV^'^ , on aura^ :
Cela posé, les formules sîn(a-f 6j/^^), cos(a4-6|/IIT) donneront :
sin (a+6|/1Il ) = sin a cos(6|/Il ) + cos a sin (6|/^ )
= — 5 — sin a + K — 1 • 5 — eos a ,
cos(a -j- 6|/^) = cosa cos6|/ — 1 — sinasin6|/^ — — ^ — cosa — K— 1 — - — sin a.
Donc on a :
ou — 5 — sina + k— 1. — ^ coso=(a+6|/ — 1) —
Soit o+ 61^— 1 — r(cosj. +|/ZTsiny), il viendra :
r sin f — r sin f
f iLf sin (rcos9») +
rsiny — rsiny __
l/dï .1 ni ces (r eos y) = r (cos ? + 1^ — i siny) —
(cos3y + K — 1 sinSf ) + etc.
En comparant les termes réels et les imaginaires séparément , celte équation fournira ces deux autres :
• sin (r cos f) = r cos y — - cos 3^ -|- etc. ,
^rBinf^— rsiny ^3
^ .cos(rcosy) = rsiny — j-^sinSf + etc.
2^ On aura aussi :
€0s a • — -2 h K — i • -^ — sin o= i
— (cos 2? 4- 1/^1 sin 2?) + |--27g;^(cos4y + l/IIÎsin if») — elc.
D'où Ton déduit
2 •cos(rcosf) = l — —cos 2? -{-
j — 7 cos4y — etc., 1 •••4
^ sin (r cos ^) « — sin2f —
- — r sin4f + etc. ♦ 1...4
jRemarçtie. Donnons une application numérique des séries du sinus et du cosinus.
On donne deux côtés a =«120°**, 6=80"*^, et l'angle compris C=r44''S3'27''^ calculer la surface du triangle par la formule
S = ia6sinD = 4800.sîn44°53'27", sans recourir aux tables.
On a :
sin 44» 53' 27'' = sin (45«~ 6', 4ÎÎ) = sin 45*» cos 6', 45 —
cos 45** sin G', 45, =i|^[cos6^45— sin6',45], =0,7071 [cos6',45 — sin6',45].
Évaluons en unités du rayon, Tare 6', 45 exprimé en minutes ; pour cela on a la proportion
(60.360y:6',45::2;r:x, d'où ^ = 2^ •gril)"' ^'^^'^^^^^ donc x*« 0,0000033.
Donc cosjc=l-^ +•.. = !— 0,000002 = 0,999998
*"'^""''"'r2:3"'"'*'^cosx-sinx=0,99811>^ij
Donc siii 44»53'27"-. 0.7071 XM98122 ==: 0,7058, donc S= 4800.0,7058= 3387,8»*.
(B) Tangente, Sécante.
sin oc
Tangente. On a tga;=.^^ : en comparant celle formule à
cos « '
Fx
l'expression générale |,;c t= -— , on Irouve Fx= sin x , £aî=acos x ,
yx = tgx. Donc
F(«)«=^sin(«+^), F(«)(0) = sin^,
f(»)«= cos (x + Y") . ^"'(0) -" cos ~ , ftO) - 1 .
pour n = 0,2,4,«,...2p, on a F(^)(0) = 0, f(*)(0)=(— l)".! ; pour n=l,3,5,...2p+l, on a F(*+«(0) = (— J)!».! ,
f(»p+»)(0)=0- Cela po$é,.les formules (a) , <ju «ommenceoient de ce § donnent :
f"'(0) = ~^^-~[5/'(0)f(0)-h3,'(0)F4-^0)r"{0)] = 2, F^'fO^ 4
'"^®) == -^ - j(ôj[V''{0)ï'(0)+6f''(0)no)+V(0)no)-h
^'^^ " lè)~'m^^^^^^^'^^ + 10,"'(0)F^ + 10,"{0)f"{0) 4-
bf(0)f»'(0) + f(0r(0)] = 16 , etc..
En continuant ainsi on trouve r'^(O) es 0, )>''°(0) = 272. Donc, à cause de
fx » ,(0) -H m X 4- f "(0) j^ + etc. ,
, 2a;» , le»» , 272x' , „,
ona: tgx + ^^g + j-^+ -^-^ + etc. (I)
Les nombres T,=i , T,=2, T,=16, 7^=272, etc. , se nomment les coefficients des tangentes.
Sécante.
Comme on a sécâ;= . si jtoas comparer» cette formule à
cosa;
Fx
l'expression générale ^X'^'-r—f on trouve F3f»=l,fx=5soos«.
Donc F(«'{0)=0, f(*'HO)=(— ir-l, fi*+i>(0)=0. On a donc f{0) = l,
f"(0) — ^.W"{Q)m + VWf"(0)4- V(0)f"(0) +
,''(0) = 61, f"'(0) = 0, f^"(0) = 133Ji, «te. Donc la formule
,x= ,(0) + AO)x + /'(O) ^^ + etc. ,
, , »» , 8«* . 6ilx« ^ 1385«« , donne sécx»l+ — + ,-3 + j^ + -j-^^- + etc.
Les nombres 1, 1, 5, 61 , etc., se nomment les coefficients des sécantes , nous les désignerons par Sssp ; voici les neuf premiers de ces coefficients :
(G) Arc sin x, arc cos x, Ârcsinx. Soit fa:=arcsin«Xy on aura Px — f"x= ^
de celle-ci on déduit
(1— x«)rj:— X. ■ =0.
Differentions cette dernière n fois de suite, on trouvera r
(1— x*)ff»+%— 2na?f««+i)x — n(n— 1)P»)x ,
— xf(«+i)x — nf(»)x— ; d'où l'on tire
f(n+2) (gn+Qxfe^+^^x+n'fWx ~ 1— «*
Il suit d*abord de cette formule que les dérivées Px, f^x, elc»^ ne prendront jamais la forme ^ pour des valeurs de x comprises entre — 1 et +1 , car les dérivées fx et f'x ne deviennent jamais ^ entre ces limites.
On trouve ensuite facilement
f(0) = 0, f'(0)==l, f'0«0, par conséquent la formule précédente donnera : P(0)=1, f*^(0) = 0, ^(0)==3^ ^^(0)=0, f^(0)=5«-3«, etc. Donc la formule de Maclaurin
fx=fl[0) + r(0)x+r(0). j^ + etc.,
fournira :
arcsmx = x + ,.- + .- + ^-^. + etc.
On a ici
LAn+i.x»4. L 2n 2n+l i=;
donc, pour que la valeur absolue de ce rapport soit plus petit que 1 , il faut que x soit compris entre —1 et -f L
Si Ton pose z =t= arc sin»ac ou x = sin z ^ alors la formule
ci-dessus deviendra
sin'js . 1«3 sin'z
z == sin « + i -=- -I- 5-j . — ^ + etc. ,
i4rc cos X. On a arc cos ac = — — arc sin a; , donc
^ , ac» 1*3 x»
arccosx«.--x-l. --— .— -etc.,
Soit 2r 6=3 arc cos a: , d'où x=cosj5, il viendra : ;r - cos^z cos*z
Sin^fiarc sin x). Soit tx = (^ arc sin ac) , on aura :
^ cos (/[tare sin ai; ) __i
'^= ^ , ou l^i — x^ra? = /etcos(/etarcsinir).
Une seconde différentiation donnera :
.•• ,n X M icfc*sin( ftarcsinac)
En chassant les dénominateurs, et en remplaçant sin (/c^ arc sin x) par f X , on trouvera :
(1— ac») f'x — xVx = — (ji} îx.
En differentiant celle-ci n fois de suite, on en déduira : ^„+,j^ (2n+1)f(nWx + (n«-A^')P")x 1 — ac* L'on voit d'abord que tx, et toutes les dérivées de cette fonction , ne se réduiront jamais à la forme 5 , quand x reste renfermé dans les limites — 1 et +1.
On trouve ensuite facilement :
pv(o)«0, f^(0) = ^(/t.« — l)(^*-3«),etc., donc
siri(/uarcsinx)«-/ucc \ ' x'^+ T. .. x^—...,
^ ^ l«îz»o i»2»o»4«D
Soit j3=arcsinx, a;= sinz, on pourra écrire la série précédente aussi sous cette forme :
sin /£Z = ^ sin z . . . -, sin'z 4- etc. ,
