TU TT
En différentiant cette équation par rapport à z , on obtient
encore :
r ^«—i (««iy/4«3«) )
cos fiz ^cosz H sin*z + -^ — . ^ \, , sin*z — etc. , v ,
Cos {fiarc sin x). Soit fx = cos [fi arc sin x) , en opérant comme ci-dessus , on trouve d'abord,
(2n-|- 1 )x f r«4.i)x 4. (n* — ^« ) fNj?
puis cos ( fi. arc sin x) — t— ~ x^ -\ . ^ g ^ at* -- etc. ^
Soit z = arc sin oc y on pourra écrire aussi
En différentiant celle-ci par rapport à z , on a encore :
sin/cfcz=»cosz {/£sinz ^ sin'z-f-etc. > ,
(D) Arc tg x •
Soit f X == arc tg x . on aura :
fx«=«r-- — OU (1 + x»)rx=al,
En ilifférentiant cette équation n fois de suite > on obtiendra (l+a:'')f('»+% + 2nxf(«)a; + n(n— l)f{»~i)a; =» , d'où : 2fix f (»)x + n (n — 1 ) ft»-%
f(»+Ox = —
mais 5, entre les limites — oe et ^oo de jî, îI est clair, par la formule précédente , qu'il en sera de même pour toutes les autres dérivées de f x.
On trouve de plus f'(0) = 1 , f '(0) = , et
f(nt^)(0) = — n(n — l) f(^i)(0) ; donc
fvn(0)«=,6.5»4.3.2.1, etc.
Donc arclgx = x^^ "^'T* if "^ "^"^ *•• •
On a ici
^n^ , r__in «
donc, pour que ce rapport soit <1 , il faut que Ton ait
Soit arctgx=z, donc x = tgz, lâ série pt'ééédéiite darieAt :
1" Remarque. Comme on a
nrctgx + nrctg — ^-5.,
X Jfi
on trouve aussi
arclg* = |.^(l.) + j(^)'--K^)«+...
qui subsiste pour x > 1 .
Pour arc igx «== z , d ou : — = col ;? , on a
V colz col'z col'z
2"* jRem. Gomme on a arc tgl • == -r-, on a :
iL = l i4.i l-|-
Cette formule converge trop lentement pour être utile au calcul de n.
Décomposition des fractions rationnelles
EN fractions simples.
(a) Cas général.
Définitions et notations. Nous entendons par polynôme entier et rationnel 9 des polynômes de la forme
fx= AapP + Bx« + Caf+ etc.,
Pf 9i ^f etc. , étant des nombres entiers et positifs , et A^ B, G, ... des coefficients constants.
Nous nommons fraction rationnelle toute fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes entiers et rationnels. Elles sont de la forme
tx Aa^ + Ba;î+ ... + Ear ^^= F7^ AV-+B^a:^+...+ Ex-- > P^P'^^,^', -^r.r^. étant
entiers et positifs; A, A', B, B', ... E, E' étant des coefficients constants; nous supposerons que l'équation Fx = 09 ait ^s racines égales à a, /3à6, etc., A racines égales à /; ces racines étant d'ailleurs quelconques, réelles ou imaginaires. Nous poserons en conséquence :
Fx=(x—ay(x—by ... (x — kyÇx—iy, F,x = (x — 6/(aî— c)y ... (x—k)\x—l)\ F,^ = (a;-c)y ... (x-A)*(a;— /)^
Fn-i = (x-/)^;
le nombre des racines simples ayb,..,l étant n. Nous ferons de même
^* F|X ' ^' F,X Fn-lX
Lbmme. 1. On pourra toujours poser régalité
fx \px fiX
^^^ W(x— af ''"FV^' '«/fX et î^\ étant des polynômes rationnels et entiers.
En effet fx et F^x étant des polynômes entiers et rationnels donnés , on pourra toujours déterminer deux polynômes entiers et rationnels f|X, \p%, tels que l'on ait l'équation
{x^=^FiX*\l/x +fiX«(a? — a)*; donc, en divisant les deux membres par Fx=(x — o)**F|X, on trouve
fx <px ^ f^x
Fx "~(x — a)« "*"!>'
Lemme 2. Je di« çtie la fraction — peut se décomposer efi
deux parties y savoir en une partie qui se réduit à 5, pour x«= a , ef que nous désignerons par Ja , et en une partie qui reste finies pour x=a, et que nous indiquerons par Ka, en sorte que l'on a :
(x a)- •^-+*^-' •En effet, on a par le théorème général de Maclaurin,
P désignant collectivement l'ensemble des termes multipliés par
Oi| déi}i|i( dq là :
Or, en posant " («— a)""^ (»— o)«-» "^ (X— o)«-» + ••* "*"
^lo
"i I A» I Aj , Ag
Ton voit que Ja se réduit à la forme ^ pour x=ay tandis que K» devient la quantité finie --r-^ , quand on pose x:?:a^ gn a doqc
Théorème. En supposant que le numérateur 4^ /a frQÇtiOf^ ration^ nette fx» — =
Fx (x^af(x^b)?— (x — k)V — 0^ ' soit d'un degré plus élevé que son dénominateur, et que Q exprima h quotient entier dfi h division de fx pçir fXyje dis que cette fraction sera toujours équivalente à la somtne
X— — « At A, . Aa
Fx (x — a)« ' (X — a)«-^ ' x—a
tfans lesquelles les numérateurs sont des quantités constantes.
Démonstration. Car on a , par les deux Lemmes qui précèiient» successivement :
Uoc \piX , Ux , , ir ,
etc., etc. ,
donc, en éliminant f^x,f,x,.,.f,t—lX, on trouve
fx=h + h + ... + J, +Ka4-Kj + ... + K,.
Soit K. + Kj+...+K,=Q,
on aura }>x= J» + J» + ... + '«4"Q* (^
Mais on a :
A« ■ A, ka
**—(x-by "^ (x— 6)/^^ "*■ •*• "*" ï^=3
etc., etc.
— il^^-^U
en ajoutant ces valeurs et en substituant leur somme dans la formule (1), on a l'expression cherchée.
En effet, en réduisant les expressions ia,h)--'h au m^nje
f,x dénominateur , leur somme pourra être représentée par ■=- ,
' fraction dont le numérateur sera évidemment d'un degré inférieur à celui du dénominateur.
On aura donc, par la formule (1) ,
Fa; ^^ Fx Soil maintenant Q' le quotient entier , et R le reste de la division de fx par Fx, on aura aussi
fa; R
Fx^^'^Jx'
îx
ÎX
En comparant ces deux expressions de ~ , on concluera
f X R QsbQ', puisque les fractions -^r y T^ ^^ contiennent plus d'entiers.
Délermination des constantes A, B, ...L.
Il y a trois Méthodes pour déterminer les numérateurs Ai,Aj,...Aa, Bi, Bj, ... B^^ etc. , L^, L,, ...Lj^,
des fractions partielles dont se compose la proposée.
1"'' Méthode.
Il faut chasser les dénominateurs , ordonner la somme des numérateurs des seconds membres . puis égaler les coefficients du numérateur du 1*" membre, aux coefficients des termes semblables du numérateur du 2*^ membre, cela donnera autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés.
x— 2'^(x+l/"*" (x+1)' En réduisant au niéme dénominateur on a :
D'où x'-\- 1 =^ (B, + A,)a;* + (A, — 2A, + B,~ 5B,)e' +
(A,4-4A,-3A,-6B. 4-6B,)x'-t-(2A.-3A,+ 4A,+ 12B, + 20B,)ar4- (A,— 2A, + 4A,-8B, + 8B.).
La comparaison des coefficients des termes semblables conduit aux équations :
0=2A,— 3A,+4A,+12Bj + 20B,,
0=A,-2A,+B,-pB,,
