R AC
qui donnent A.^^g^, A, = — , A.= --,B. = -— ,
on a donc :
(«— 2)Ma:+l)' 66S(x-2)' 665(a:— 2)* ' 665(a;— 2)
66S(a!+l)' 66S(«+1)' 2"" Méthode.
Nous avons trouvé
IX Ai , Aj Aa
(ac— o)«F,x (x — o/ ' {x — o)«-i ' x — a
Fx—{x—ayF,x.
En multipliant ces deux équations, on trouve : (1) fx-=[A.+(x-a)A, 4-...+ (x — a)«-ïAa]F.x +
Ko(x — fl)''F,a:-j-f,x(x — a)*.
En posant x = a, il vient :
fo = A,.F,a.
Si nous différentions Téquation (1), a — 1 fois de suite, et que nous posions x^=a^ après les différèntiations , on trouve
r'd=- A..r',a + 2A,F'.a + 1 -ÎA^F.a , (♦''a=fc:A,.F'"a+*A,F"a+3.1.2A3F'.a+1.2.3A,F.a, etc., etc.
De ces équations on lire les valeurs des inconnues
Ax j Aj 9 Aj y A^ f etc.
On aura évidemment des équations semblables pour déterminer les coefficients B^ , B, , B, , etc., etc.
fx i
Exemple. Soit -. = __^__ =
*» ^ X* ~ oc ^(ac— 1)«^ X— 1 ^ x+1 On aura :
F,xs=(x— î)»(aj+l) = x«— X»— « + 1 , F'.x = 3x»— Sx— 1, F". — 6x-2.
Donc F.O- 1 , F'.o= — i , F",o - — 2 ;
on à cTaitleurs fa = 1 , î'asaO, fa»» 0; donc, les équations ci-dessus deviennent : 0»A,.l,
d'où l'on lire :
Podr déterminer les B, on fera
F,« = x»(x + l) = x* -}-«', F'.a=4«'4-3a;»; comme 6 ea 1 , od a i
FK6)=2, F.(6)=7, f[6)-4, f6=0; donc les équations ci-dessus deviennent :
1=B..2, 0=B..7 + B,.2; d'où: B.^T, B*«— f
On déterminera le coëdicient C, , en observant que l'on a maintenant c = — 1 , f (c) == 1 ,
F,x==»'(« — iy = a;» — 2»* + x» ,
donc i=C,(— 4), C.=— i.
Donc enfin :
x\x—iy(x^l) x»^«'^x '^2(œ— 1)' 4(a;— 1)
4(0;+ 0" 3"" Méthode.
JX f X
Soit ?x= -77- = •■ ^ ^ , et posons #x = {x — a)^fx ,
hx (x — ayPiX ^
on aura :
^x=(x—aY^x^{x-aY\ ^ ^\ + , \ 1 + -' +
x—aA = A.+A,(x-a)+A3(a:-a)« + ...+ A«(x-a)«-» +
U(x— a)^ Gliangeons x en z -{^ a , on aura :
^(z + a)«A,-|-A,2: + A55J^ + ...+A«z,'-i + Uz«. Mais on a aussi :
En effectuant la division /jusqu'aux a premiers termes du quotient inclusivement, on aura une expression de cette forme :
^ [z-^-d) = Ox + a^z + «3^ + ... + «a^j""* + U'jz*.
En comparant ces deux expressions de la même fonction ^(z+ a),
on en déduit : A, = a,, Ai» a,, ... A«»aa.
On obtiendra les B; etc., les L par des procédés tout-à-fail semblables.
fx l+x'
Exemple. Soit yx = — - = , -— =
Fx (x — l)\x— 2j«(x + l)
V Déterminons les A.
On a ici
Posons x=5î+l, il viendra
D'un autre côté on a :
La comparaison des seconds membres des équations (1 et (2 , donnera :
2" Déterminons les B.
Nous avons ici :
donc ^.(«+6) = B.+B,z + V^\ (l'
Ensuite, pour x=«+2, il vient aussi :
, ... i-Kg+2)' 84-^^+^-*
La comparaison des équations {V et (2* donne : R 5 „ 38
3° Déterminer c.
1 + On fera hx = (x + \)fx = ^^^y^^^^^ , c-= — 1.
En changeant x en z + c ou z — 1 , il vient
■^,(z + c) = C. + Wz. (1"
Mais on a aussi :
Les équations (1" et (2" donnent
On a donc enfin :
(iP -!)'(«— 2)»(x+i; (« — l)» + 5»(x— i)' '^4(a;-.l)"^
(b.) Cas partlcnller.
Quand on a a = fi^= ...'=• X='^, h formule générale devient : fx fx A B
X — l Les numérateurs A , B , . . . L , seront alors déterminés par les équations
f(a) = A.F.a, f{6) = B.F,(6), ... f(0 = L.F„(/) , en posant successivement
F,ar=(x — 6)...(a;— /), F,x = (x — a)(x— c)...(a:— /), F„Xï=(x — o)(a; — 6)...(x — k).
Mais on a :
Fx=(a;— a)F.x; donc F'*x=F,a!-|-(a; — a)F',a;.
D'où, pour x = a, F'o=F.a.
On a de même
Fa;=(!r— 6)F,x, donc F'4: = F^x + {« — 6) F',«.
Pour x=h, on a F'6 = F,6. , elc.
On démontrera de même que l'on a F7=F„^ On a donc les équations :
f(a) - A.F'a, f(6) = B-F'è , ... f(0 = L-F'/, d'où :
A- il B-M. i^-Kt)
^~¥>a' ¥'b ' '" ^~ Wt'
Exemple. Soit pœ= -rr- = — - — -—i^ — =
X— 1 ~ x+l ^ x— 2 "^ aî+a * On a ici :
f«=l + af, Fx = (x— l)(x+l)(x-2)(a; + 2) = a;*— Sx» + 4,
F'x=4x»— lOx.
fa = 2, f6 = 0, fc = 3, id^ — l; Fa=— 6, F'6=6, F'c=12, F'd-^ 12.
Donc A=-^ -jT g, B = — = 0,
On a, par conséquent :
(e.) Cas des Facteurs imaginaires.
Si les facteurs du dénominateur Fx sont en partie imaginaires, alors deux facteurs imaginaires conjugués répondent à deux fractions partielles de la forme
Les numérateurs A et B , déterminés par l'une des trois Méthodes
seront également de la forme imaginaire P-j-QK'^^, mais en
ajoutant ces deux fractions , les termes affectés de K — 1 disparaîtront de la somme , et l'expression
A(x—a—by^^ )" +B(g!— g + ak"^)-" [(«— a)'-f-6«]'» '
sera réelle.
1" Exemple. Soil ««=•=- = — —- n =
Tx—S
Onn a=—l, 6=2+1/^, c=2—K^,
{xt=7x — 3, Fa;=a:'' — 3a;'-l-a; + S, F'aî=3x''— 6x+l ,
fa=10, f(6)=H-|-7K^, fc=ll— 7|/^,
F'c 6|/Z:Ï 2' donc B4-C = l, B — C=— 21/^ ;
donc enfin : =-^^^^t — -5 = j- +
WJ^'j^'ZTj 1 n — 71/IIT 1
ou
2"* Exemple. Décomposer la fraction j-, m — l<n.
X* ri
V n est pair.
Sou pour abréger — «* e , at^ = c = cos « -fn
[/ — IsinÉe,
Désignons par j 1 (fA), le produit 2,4
Il est clair que les facteurs de a:'*— 1 , seront :
se»— l = (a;— l)(x+l) I 1^ (a;— a*)(x— 6*)»
2,4 et Ton aura : 1
fx a*»-^ A B *-2 r C» , Dt 1
La somme *S*J(*) = f(2) + f(4)+ ... + f(n— 2).
11 faut donc déterminer les coefficients A, B^ Gt, Dt. Mais on a ici a=l , 6=.1 , fa-^a;»-», F'x=-na«-* ;
donc f(o) = I, f(6)=(— I)— », f(fl») « e*<'»-i^'"^-S F'(a)-n, F'(6) = n(-1)-».
Donc A= T^T" — ■-, B= 7;7- = -i î — r = -^ i— , =
F'a rt' F'6 n(-l)»-^ n
•^^ — ^, n étant pair.
On a de même :
— e ^ "" 5 A élant pair.
F'(^fc) n n =
— e , A étant pair.
On a par conséquent :
rj^m-i ^ 1 j 1 (— i)«»
g^ri^ -fi 1
oc — e X — e
Si l'on veut faire disparaître les termes imaginaires il faudra ajouter les deux fractions sous le signe g ; dont la somme est :
X TcmBV^^ , ^-teôt^^N ^ {m^l)hB\/~i , ^— (m— 1)^01^^. ar(e -}-e ) — (e^ ' +^ )
Mais 9 comme on a généralement
e^^--*' + e""^'^'"^ = 2cosp, la somme ci-dessus deviendra
occos Ame — cos(m — 1)A:9 x* — 2aïcôsAe + l '
et par conséquent on a :
»— 1 "" n (x— 1 "^ ac + 1 ^
n-2r xcosÉwe — cos(m — l)A:o-i 1 . v 2^*L x»-2x.cosfce + * J j * ^^^
2** n est impair^ On a alors
*-î«(a?— 1)1 I (aî-t/,)(x— 6fc);
par conséquent, dans le cas de n impair. Ton a :
af-' ^ A «g' j Ct , P* j 3c»— 1 ^ X— 1 "^ ^* ( x — a^ x—h) 1 ( i ,a'\^ r X eos km 6—cos (m— i)ko -. ) ,^.
="n(Jr^'^^*L a!«-2xcosfc9+l J)* '^ ^
fx X**"^
3"' Exemple. Décomposer ^^ « l^ZT ' ^""* '^'**
l** Owanci n esf pair.
Dans ce cas on a
On a donc
X~--l «-1 r Cft
x» + 4=l I [(x— aft)(x— 6fc)], en faisant en général ,
j |^«;»)-f(i).f(S).fi8)...((i-i).
a;»-[-l 1,3* Lx — a* X— 6»-i Mais on a :
c= -, g^^^-i :—if k étant impair , n
donc :
2** n e«f impair.
On a alors
a;»+l=(xH-1).n[(x-«,)(x-6»)]
— M (~^ )"*""' j-o""^ r ^Qs(^^ — i)feg--xcosni^) ^ ) ""îTÎ x+1 "•" ^**- x*—^xco8kô + i iy ^^
Formule D'iNTERPOLATiori de Lagrahge.
(a) Cas ou fx est une fonction entière et rationnelle*
TiiÉoBÊME. fx étant une fonction entière et rationnelle ^ fa , fb ,... f I , n valeurs particulières de cette fonction , correspondantes aux n valeurs de x, savoir :
x=a, b, -k, 1, je dis que l'on aura :
(a~b){a— c)...(u — I) ^ ' (b—aXb— c)...{b— I) , , n (x-a)(x— b).,.(x— k) + - + '^-(l a)(l-b)...(l-k)- Démonstralion. Soient fx y Fx des polynômes entiers et rationnels , et soit
tx en supposant de plus que la fraction — ne renferme pas d'en*
JrX
tiers, on aura, par la théorie du % précédent :
Fœ"" F'o' x—a "^ F'b ' x—b'^'"'^ F'I ' x—l' 2"" PAnT. 53
— 2S8 — Mais on a
(1) Fx = {x—a){x—b)...{X'-k){x—l);
donc, en muliipliant ces deux équations membre à membre » on trouve
{x--a)(x-b)...{x—k ) + .- + f pF^ .
Mais^ en différentiant Téquation (i), on a :
¥^x = {X'-b](x—c)...(pc--l)+{x'^a){x — c)...{x—l) + ... +
on a donc
F'/ = (/— o)(<'— 6)...(/-it).
En substituant ces valeurs dans Téquation (2) , on a la formule cherchée, qui est de la forme
fa:t=A(ac — 6)(x—c)...(a?— /) + B(x— a)(x— c)...(a;— ./) + .;. 4-
L (ac — a)(x— 6) ... (x — k).
Exemple. Soit fa?=x5 + px+Ç=0, et a une racine réelle de cette équation , comprise entre X et fi^ dont on demande une valeur approchée. A cet effet , prenons entre X ci /x des valeurs intermédiaires , par exemple, les trois nombres
A<a<6<c<A^, et soient
on pourra poser
a=<p(c,), 6 = ?(Cî), c=y(C5).
De plus Téquation f« = 0, nous donnera a=y(0). On a donc, par la formule de Lagrange :
^,m (0-c,)(0~C3) , . , (0-c.)(0-C3 ) , , , '^'^ ~ (c.-c,)(c,-C3) • ^^^') + fa^cO(c.^C3 ) • ^<^^^ +
ou : ^ = ^J^ a + ^-^'^ 6 +
(Cj — Ci)(o, — c,)
Théorème, fx étant une fonction continue quelconque dont on donne n valeurs fa, fb, .•. fl, correspondantes aux n va-leurs de x, savoir , x = a, b, ... 1, je dis que l'on aura:
f^__ (x--b)(x-c)...(x-l) . , (x— aXx— c)...(x— 1)
(a^bXa-c)...(a — l)'^"(b-a)(b—c)...(b—l) ■*"'••
i*2...n «.+ft+...+ s„+i=l,0<f.<l,0<£,<l,...0<f„+,<i.
Démonstration. 1° Je dis d'abord que l'on a fa fb
0<f.<l, 0<f,<l, ...<e„<l, et f,+f,+...4-f„=l. En effet y on a , par une formule des notions préliminaires ,
tb — ta=-(b--a){'[a + s^{b — a)], Of<«,<i
On en lire
^^ I *"* en 1 f.\
Donc l'équation (I) subsiste pour n=2. Je dis maintenant que si la relation (I) a lieu pour n lettres a, 6;.../, elle subsistera encore pour n-|-4 lettres 0,6,.../,?».
Pour cela , remplaçons dans (I)
fa — fm ., f6 — fm , f/ — tm fa par , f 6 par , etc. , f / par ,
On aura Féquation suivante :
fa—îm f 6 — (m
(a— 6)(a— c)...(a— 0(a— iw)'''(6— a)(6— c)...(6^/){6-w)"*""'
pourvu que Ton pose z=£, a +«,6 -f ••• + ^J «près les différentiationa.
Mais par la formule qui donne le développement de ^^ * — • ,
on aura , ipour p «* n — 1 , fz = tz^fm , '4jz = , Texpres-
sion suivante fz — fm
P*-^)i5 fz — (m
^ '^ (z — my (z — m)*
= i — ^ -^^ 'Uz—m'^(z—m)rz+ ^— — Tjs: — etc.
Mais Ton sait^ par la formule générale de Madaurin, que le polynôme, qui est placé dans les accolades , peut être remplacé par le reste
t:lÇ^:z!!!^(i')[z+e(m-z)], o<.<i.
ou par
On a donc :
•ft»)(s'z+£»w).
