n— i dz**-* 1.2...n

équation dans laquelle il faut faire r=£,a-|- £,6 +... + €«/. Mais dans l'expression

— celles coefficients £, s^ ..« Sn sont compris entre et 1 , et l'on a

f, + ç,+.., + £n==! , et aussi f'+€==l, on peut donc poser

Réduisons maintenant le 1" membre de Téquation (II) à sa forme la plus simple. A cet effet » si dans la formule

f — (^"-ft)(a^— ^)"*(^-"^) f 4 4. {x-^)(X'-b)...{x—k) ^"(a-6)(a-c)...(a-/) ■^•••"^ {l-a)(i-b)...(l-k) ^''

on pose fa;=i, x=m, on a : (m— 6) ( m-^c). ♦. (w— /) ( w—q) (m— c) ...{m—l)

Divisons cette égalité par (m — a)(w — 6)...(m— Z), on trouve

(A— oJ(6— c)...(6— /){6— m) '" W~a)U— 6). ..(/-*)(/— w) '

c'est le coefficient de ((m) dans le 1*' membre de Féquation [II) , donc cette équation devient :

îa îb

(a— 6)(a— c)...(a— w) (6-— a)(6— c)...(6 — m) fm i

im — a){m— 6)...(m — /) i*!2...f» i t j,

et Ton voit qu'elle est de la même forme que l'équation (I). Or, l'équation (I) ayant lieu pour 2 lettres , elle subsistera lorsqu'il y en aura 3,4, etc.

Multiplions maintenant Péquation précédente par (m— a) (m— 6) ... im—l) ,

nous aurons :

f (w— 6)(w— c) ... (w— - (w— fl)(m— c)...(m— /) {a^b){a—c) ... ia—l) (b—a)(b—c)...(b—t) *

(w--.o)(in— ft)...(w— A;) ^ (/-a)(/-6)...(/-A) (m— a)(m— 6)... (m— Ajfw—/) ., w . ^ .

Si nous remplaçons dans celle-ci m par ac, et si nous mêlions tous les termes fractionnaires au second membre , on aura la valeur de fx énoncée dans le théorème.

Remarque. En négligeant le reste R^ Févaluation obtenue pour tx sera fautive de R.

Soit M = 5ia-|- ««6 + ... + ^n+4^>

M sera une moyenne entre les quantités a,b,*lyX; si A et B désignent le maximum et le minimum de f(")(i\I)y on aura