A>P»KM)>B
ou f(»)(«)>r«HM)>P«)(.3),
a ei fi étant les valeurs de M qui rendent f(*^HM] un maximum
et un minimum.
Il suit de là , qu'en négligeant le reste R» on commet une erreur comprise entre les deux limites
(x-a)(x-b)...(x-l) j,^,^^ ^^ (^-«)(^-6)-» l(fZ:^^,)(,3)^ 1.2...n l-2...n
On peut donc négliger le reste R, quand ces limites sont Irèsrapprochées , ou quand elles sont assez petites pour n'exercer aucune influence sur la valeur de f x , entre les limites de la précision désirée.
Équations numériques.
(a) Théorème de Fonrier.
Stebn , Jonm. de Crelle, t. x ejk zi.
Notations et définitions. Soit fx=0 une équation algébrique du degré iw, si Ion forme les m dérivées conséculives
f(«)x, fC'»-*)x....rx, fx, fx, (a)
et qu*on remplace , dans chacune, x par un nombre a, les résultats
seront des valeurs positives ou négatives, qui présenteront une succession de signes telle que
que nous désignerons, par [a].
Deux signes consécutifs égaux se nomment une permanence, et deux signes consécutifs inégaux donnent lieu à une variation de signes. Ainsi dans la série de signes
il y a trois permanences, savoir (++), ( ), ( ), et
trois variations, savoir ( {-) , (H — ), ( — |-).
Les démonstrations des propositions qui vont suivre reposent sur un principe déjà démontré ^ et que nous allons rappeler :
Principe. On peut concevoir h assez petit pour que le signe du binôme
f(a) + li.^(a), soit le même que celui de son T' Terme f(a).
i"' LEM^aE. Si dans les dérivées consécutives
f(«)x, f(«-*)x, l'x, fx
on remplace x successivement par — 5 et + 3, on obtiendra deux séries de signes que nous indiquerons par [ — 3] , [5] , or y je dis que la !'• Série ne sera composée que de variations et que la seconde ne renfermera que des permanences de signes.
Démonstration. Soit
fx=Ax«+ AiX«-i + A,ac«-«+ ..• + A„.ax'+A«-iar+A« = 0, on trouve :
f(~)a;=!.2...wA,
P~-^)x=2.3...wAa; + 1.2...(fn— 1)A,, fl«-2)x = 3-4...wAx« + 2.3.,.(m— 1)AiX + l«2...(in— 2)Aâ, etc., etc.
I 1*^ Posons xsm — ^, on aura la suite désignes
I f(»)(-i) = + , ft-^)(-è) , f(«-^H-è>=+i etc.,
ou
I [ — 5j = + ^— > +s etc.
C'est-à-dire , les signes de cette série seront alternalivement positifs et négatifs^ ce qui ne produira que des variations de signe.
2'' Posons x^ + ^y on aura la suite de signes
f(«)(i)= + , f-»){i) = + , f^'^Kh)^ + f etc.,done la série
ne se compose que de permanences.
Donc si a est un nombre réel , ec par conséquent compris entre — 3 et +5, et qull ne fasse évanouir aucun terme de la suite
f(«)a , ft— »a , fJ«-% , ... Va , (a , (1)
j la série de signe [a] sera ia même que la série [—5] , et n'offrira
que des variations»
Il n'en sera plus de même si a rend nul Fun des termes de la suite (i); comme nous le verrons par les lemmes suivants.
2"° Lemme. Si a est une racine de téquation fx=0, et que ton a far conséquent fa =0, je dis que Von pourra concevoir h assez petit, pour que la suite de signes [a-^b], ait une variation de moins que la $Hite [a — h].
Démonstration. On a par le théorème de Taylor : f(m)[a — h] = f^'^^a - A n^^'^ (a + eji) .
f(«-i){a —A) = f(«-i)c— AP«)(a+f,A) ,
{(a-h)^0-h[Pa^J^P^(a+sJi)].
Donc, en vertu du Principe ci-dessus ^ les signes de (t«)(a— A), f(«-*)(a — A), ... f(a-A) seront les mêmes que ceux de la suite
lt«)a, ft~-Oa,.,.ra,
désignons les signes de la suite ^"•^a, ... fa, par [a j .
L'on voit encore que f(a — A) sera positif ou négatif, selon que fa sera négatif ou positif, puisque le signe du binôme
dépend de celui de Ta.
Donc» l"" si Va est positif » on aura
2* Si fa est négatif,, on aura
[a-A]=|aj, -, + .
On a ensuite
f(«)(a + 6) = P")a + Af «-^ *)(a+ «.A) , f{i»-4)(a+ A) = P— *)a + A f(«)(a + ç,A) ,
na + A) = ra + Ar(a+.«^,A),
f(a + A) = +A[r«+ Ar(a+,.A)].
Les termes f(~)(a4.A), f(«-«)(a + A)...F(a+A) , f (a+A) , ont donc les signes des termes correspondants
f(»)a, f(«*-Oa,...f'a, Ta.
Soit |«| la série des signes de la suite f^^îa, P«-%, ...Pa.
Si fa est positif, alors en vertu du principe cité ci-dessus, r(a-{-A) et f(a-f A) seront positifs, et si Va est négatif, ces mêmes termes seront pareillement négatifs. Donc 1*^ si Va est positif, on a
et 2** si Va est négatif, on a
[a+A] = jaj, —, — .
L'on voit donc que [a + A], a une variation de moins que [a-li\.
2'"* PABT. 34
S"* Lemme. Si a n'est pas racine de l'équation fx=sO, ei si X =s a , fait disparaître une ou plusieurs des dérivées
f«)x, ft~-%, ...Px,rx, je dis que [a+h] aura un nombre pair de variations de moins que [a — h].
Démonstration. Soit la suite
f("--^x,...rx,fx. fx,
dans laquelle les { dérivées
f[«)x, f»-^x, ... r»--'+*>x s'évanouissent pour x^=xa.
Les signes des fonctions
ft«)[a±A], f(— 0[a±A],etc. n'H"i)[a±A], f(*-0(a±A),... f'(adbA), f(adbA), sont les mêmes que ceux des fonctions
((")a, f«~-ï)a, ... n«^%, n»-^a, ... fa, fa; donc^ on n'a besoin que de considérer les signes des fonctions f^)[a±h), P— *)(a±A),...f(— ^*)(adbA).
A'ous désignerons par |a| les signes des fonctions ff"){a±A), f— *)(a±A>, ... f(«**)(a±A) , et par (a) ceux des fonctions
i(^\adzh), ... r(a±A), f(ad=A).
Cela posé, à cause de
f:»)a = 0, f(*-Oa = 0, ... f(— «+*)«— 0, le théorème de Taylor donne :
f(«+i)[a A] „ ft«+Oa— /ift«+î)(o — s.A) , f(«) [a — A] == — A [ft«+»)fl A fl»+«(o— e,ft)] ,
ft-» [a- A] .p^ [ f («Wa - 1 f(«+»)(a-«,A)] , / [d)
f(— «+2)[a A]«(— l)(^-0^!i [ n«+.)a-y ft«+»)(o - sj 2A) ] ,
f »-H-0[a— A] = {-ly -^ [f(»+i)a — -^ n»-«> {a-^£,,A) ] .
On a de même :
f(«+.) [o+A] = f(»+«)a + AH»») (o+e.A) ,
f(«-W)|;a 4. A] ___[f(«+.)a + -ft«+>)(a+e,3A)] ,
f«-Hi)[«4-A] « -JL[f(«t.,„+^^f(,+2)(„,.,,,A)].
Il nous faut maintenant distinguer deux cas 9 selon que / est pair ou impair«
1° l est pair, et ft'»+Oa>0,
alors les ternies de la série (d) auront les signes suivants :
et ceux de la série (/3) seront
+ , 4-, +, +, .... +, +,• on a donc
Si Ton avait f(«+Oa < , / étant pair , Ton voit aisément que Ton aurait
lù—K]^\n], ,+,, -f, ... +, ^ (a)
[a+A]={aj, ,,, , , , (a).
Donc [a-f A] a / variations de moins que [a — A]. 2° 1 est impair.
a) Soit fi»^-*)a>0 et f(«-^a>0, alors les polynômes (!) f(~+ï)(a— A), ft«Xa— A), ... f(«-0(a A) , f(«-2)(a— A) , .,.
f(7.-M.2)(a/i), f(«-Hi)(a A), ftn-0(a— A), auront respectivement les signes
tandis que les polynômes
(2) m%a + h), {^''Xa + h) .... f(»7^^.i*H« + A), t(^'%afh)
auront les signes
+ , +f +r +f - +> +. +, Il suit de là y que Ton aura les successions de signes
[«-/0=|«i, +-+-... + -+, (a-i), [a + A]=jaj, ++ + + ... + ++, (a-1).
/3) Soit fl»+Oa<0 cl f(«-«)a<0.
Les successions des suites (1) et (2) seront alors respectivement
En sorte que l'on aura :
[a+h]= joj, , (« — 1).
y) Soient r»+«)a>0, f("-Oa<0,
les suites des signes des termes des séries (1) et (2) seront :
et l'on aura :
[a-/i]= ja} + - 4- + , (a~l).
9) Soit enfin f(»+Oa<0, f<"-''a>0 , les suites (1) et (2) auront respectivement les signes suivants : — + — — + +,
-^ — — "TÎ
on a donc
la-h-] =={«[,-+- - + + (a-i) ,
Donc, si ft"+*^a et T'^-'îa ont le même signe, [a-j-A] aura Z+1 variations de moins que [a — A], et si f^**^'*î(a), P^-^U sont désigne contraire, alors [a+A] aura / — 1 variations de moins que [a— h].
4"" Lemme. Soit f X =r une équation du degré m , je dis que les suites [a], [^3], ne pourront différer que de m tmjialions au piu^.
en effet , en vertu du 1*" Lemme, la suite mx, ii'^^)x, ... fx, foc ne peut perdre que m variations lorsque pour x on substitue consécutivement les nombres compris entre les limites — 5, -I-5.
5"* Lemme. Jamais une variation perdue ne peut reparaître dans la suite des valeurs croissantes de x .
En effet, par le 2™' Lemme, les racines x=:a, 6,... de fx=0, feront disparaître les variations 1 à 1 ; et , en vertu du 5"" Lemme, les racines des équations l'a;=sO , Fx=«0, etc., font disparaître les variations 2 à 2; donc, jamais une variation perdue ne pourra reparaître.
Théorème de Fourier.
SiTéquation fx=0 a n racines réelles a, b.... entre x=«)X=s/3, je dis que la suite [fi] , aura au moins n variations de moins que la suite [a], on suppose /3>«.
Démonstration. Car, en vertu du 2"" Lemme, la suite [a-f-A],
h étant suflisnmmenl petit, aura^ au moins, une variation de moins que [a — AJ, de même [6-fA] aura au moins une variation de moins que [6— A] , etc.
Il suit de là
1® Si [jS] n'a pas moins de variations que [a], il n'y aura aucune racine entre ^t et ^.
Si [^J a n variations de moins que [a\ , il n'y aura que n racines possibles entre a et 0.
Mais on ne doit pas conclure de là que ces n racines existent nécessairement entre a et /S; car, d'après le 3"* Lemme, la perte des variations peut provenir également des racines des équations rx«=0, f"x=^0, etc.
2° Si n est impair, il y aura nécessairement une racine réelle entre a et fi. Car les racines des équations Cx^^Oy r'x«=0, etc.^ ne peuvent faire disparaître qu'un nombre pair de variations.
S* La suite f(**îx, f^"^*)x,... fx,fx perd autant de couples de variations que l'équation fx^O a de couples de racines imaginaires conjuguées. Car la perte d'une variation correspond toujours à une racine réelle. Donc si deux racines réelles manquent, c'està-dire si l'équation a deux racines imaginaires, alors, par la substitution d'une certaine valeur, deux variations doivent nécessairement disparaître à la fois.
Soit 2i le nombre des racines imaginaires de fx=aO,w — 2« celui des racines réelles, quand on fait passer x de — h^hf ^^^ ^ variations de [ — l] disparaîtront, et puisque les m — 2t racines réelles chassent les variations 1 à 1 , les 2 1 autres variations seront chassées 2 à 2 , ou par couples , en rendant nulles les dérivées fx, f 'x , etc. Donc, si Ton est certain qu'entre a et fi il n'y a pas de racines réelles , et si [i3] a 2 1 variations de moins que [a\ , alors l'équation fxa>0, a au moins jti racines imaginaires.
Exemple du Théorème de Fourier.
Soit fx=rx' + 9jf'3x + 2«0 ;
on a
r'^=*6, r'x==6x-h4, fx = ox« + 4x— 3,
Soit «= — 10, i3 = — 1 , on aura :
Il y a donc une racine entre — 10 et —1, Soit «=»0,/5 = l, on aura
Il y a donc deux racines entre et 1.
(b) Théorème de Stnnn.
KLuaELs, Math, wôrterb., sup. n.
On suppose que l'équation fx=0, du degré iw, est privée de racines égales, c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de facteurs communs entre foc et fx.
