Formation des polynômes f|X, fjX, fjX ... r^x

Cherchez le plus grand diviseur commun en<re fxeifx, en ayant soin que les quotients partiels soient toujours des entiers , et en prenant les restes consécutifs en signe contraire. Soient R^, Rji... Rn ces restes, on aura la suite de polynômes

far, fjXssfac, f, = — Bi^Ux^^ — R», etc., fmX=r — R„ , et trois quelconques de ces polynômes, pris consécutivement , seront liés entre eux par la relation

f^,ac==g„f„x — fn+jX. (1)

9,1 est le quotient entier de la division de f».|X par t^x et f^^^ est le reste de cette division pris en signe contraire.

Eocemple. Étant donnée l'équation

fx«x— *fx' + 4«» — 4a;+1 ==0, former les polynômes

fjO?, ffX^ fjX, f^x.

On a d'abord

f,x = fx = 4x' — 4a?» + 8x — 4 = ,

ou f^x^x'— x*4-2x— 1 = 0.

Pour former f«x, je divise fx par f|X, on trouve pour reste

on posera donc

Pour former f,x , je diviserai f|X=5x'— x'-j- 2x — I ,

par f^= — 5x»-f-7ar— 2 ou 5f|X= 5a»— 5x» + !0x— » par f,x, on trouve pour reste

R, = 54x— 29; on aura ^ par conséquent :

On forme ensuite f^x en divisant f,x = — Sx* + 7x — 2 par fjX= — 54x + 29. Pour que le quotient partiel devienne entier , il faudra diviser 54f,x par fjX, et Ton aura pour reste

R3 = 923, donc f^x = — 92S. On a donc, en résumé , les polynômes suivants :

fx = x*— |x3 4-4x* — 4x+l,