Lemmes préliminaires
1*' Le.mme. Le dernier des polynômes fx, f|X, f,x, •.. f^x, (2) ou fmX, est toujours un nombre.
Car fxssO étant du degré m, il est clair que f^x sera du degré zéro. Mais si l'on avait f^^^O, alors fx et f|X=fx auraient un facteur commun, et par conséquent Féquation fx=50 renferme* rait des racines égales , ce qui est contre Thypothèse.
2°*' Lemme. Deux polynômes consécutifs fn-^x, fnX , pris dans la suite (2) , ne peuvent pas s'évanouir ensemble pour une certaine valeur a de x.
Car si on avait à la fois f„iât = , fn<« = 0, l'équation (1) donnerait aussi f„+ja=aO, donc fn+2«=5 0, etc.; donc f,n«=0, ce qui est contraire au 1*' Lemme.
3"" Lemme. Si pour une certaine valeur réelle x^=^a^ on a fn^sO les fonctions voisines fn-|« et f»+|«, seront de signes contraires et différentes de zéro.
Démonstration. 1" Si Ton avait f„«4« = 0, ou bien f^^^assO, deux fonctions consécutives
f«-lû5,fn<* ou f^,f,tiû5
s^évanouiraient en même temps, ce qui est contraire au 2* Lemme. ^ Comme on a f^» 0, l'équation (1) donne
4"* Lemme. 5î f»x ne s'évanouit pas pour \=sa, il en sera de même des fonctions voisines
f»(x-h), fn(x + h),
et l'on pourra cmcevoir h assez petit , pour que les trois fonctions
aient le même signe.
Car on a :
f„(«4.A) = f„« + AP„(« + a); donc !<" r„x n'étant pas nul^ il en sera de même de f„(« — h), f«(«+A) quelque soit h;
2^ On peut concevoir h assez petit pour que les seconds membres aient le signe de leur 1" terme f««.
5"' Lemme. Si le nombre réel x = a, ne satisfait pas à l'équation fx=0, alors y en concevant h m/fisamment petit, les trois suites de signes
correspondants aux trois séries de polynômes f(«— h), f,(^-h), f,(«— h),... f^tf-h), .
îcc, f,a, Ua, ...f««, \ (3)
auront le même nombre de variations.
Démonstration, l"" Si aucun terme de la ^^ des suites (3) ne s'évanouit, alors le lemme actuel est un corollaire du précédent.
S"" Si Tan des termes de cette suite disparait, par exemple, si l'on a f^ — 0, alors, en vertu du S"' Lemme, les termes f»itf , fn^ia seront de signe contraire, mais aucune de ces fonctions ne sera nulle.
Comme f„^i« n'est pas nul, il suit du 4°* Lemme que les termes ffH-i(^^*)> Wi(« + *) seront de même signe que la fonction fnJ^ia, et aucune de ces fonctions ne sera égale à zéro.
Il suit de là, que les signes correspondants aux fonctions
f^l(«— A), fn(«— A), fn+l(«— A), (*'
termes généraux des suites (3) , ne pourront être que les suivants :
±(±)=F =h db ^
± =F =P ± =fc =p.
(db) étant le signe du terme f„a qui disparait. Or, l'on voit que chaque ligne horizontale ne présente qu'une variation. Donc, en faisant dans les équations
les signes des suites (3) auront le même nombre de variations.
6"" Lemme. Si a<^^<<b, et qilon n'a pas f««=0, les deux suites de signes [a], [b], correspondants aux deux séries
fa, f,a, f,8, ... fma, (4'
fb, f,b, f,b,...fmb, (5' auront le même nombre de varicUions.
Car en faisant varier x d'une manière continue de a à 6, on aura entre les suites (4', (5' des séries correspondantes à ces valeurs deac, qui, par le 5""' Lemme, auront toutes précisément autant de variations que la série (4'; donc la suite (5' en aura autant que la série (4' et pas d'avantage.
7"** Lemme. Soit x=a une racine de Véquation fx = 0, je dis que la suite des signes [^ + h] ^ cotrespondants aux poly-^ nomes
aura une variation de moins que la suite des signes [^^h] des polynômes
f[«-h], f.[« — h], f,[a-hl,...An[^— h],
h étant toujours supposé suffisamment petit.
Démonstration. 1"* A cause de fa^O, on a :
f(a + h) = + h[Pa+~na+e.hl
On peut concevoir h assez petit , pour que le signe du binôrae
fa± — ^ f '(azfcf A), soit celui de son I" terme fa=^fia.
Il suit de là^ que f(a — h) et f^a sont de signe contraire ; tandis que î(a'\-h) et Ua sont de même signe.
2* Gomme fx« n'est pas nul, car on a f^sO^ (2"' Lemme) , il suit du 4"' Lemme, que les fonctions {i(a+h)/U(a — h) ne s'évanouissent pas, et que pour h suffisamment petit, ils sont de même signe que da.
S"" De ce que Ua n'est pas nul , il suit du 5°''' Lemme, que les suites de signes [«—A], [ci], [«+A], correspondantes aux polynômes
f,«, fjâS, ... fm^,
f.[«+A], f,[« + A], ... f»[«+A], auront un même nombre de variations.
4° Donc, si dans les suites
f(«— ft), U{fc-h), ... U(a—h) , (m) \ fa, f,a, ...f««.
On suppose que le signe de Ua soit -]-^ alors à eause de 1% le signe de {(a-- h) sera — , celui de f(âs-}- A) sera -f-. 11 suit aussi de 2* que -f- sera le signe de {^(cù — h) et de f,(a+h). Il y aura donc une variation de {{a — h) à f,(âs — A), ei il n'y en aura aucune de f(a4- A), à f.(tf + A).
Hais, à cause de Z"", la partie des suites (m) , qui suit leurs premiers termes, a le même nombre de variations; soit v ce nombre de variations; il est clair que la !*• des suites (m) aura »-{- f variations, tandis que la 3"^ n'en aura que v, donc elle en a 1 de moins, et seulement 1 de moins que la l**.
ThéoreMe 4e Stam.
Soient a et h deux nombres réels quelconques, a<^b, soit v le nombre des variations de la suite
fb, ffb, f,b, ... fmb, et u le nombre des variations de la suite
la , lia, i^a , ••• ima, je dis que l'équation fx=:0, aura précisément autant de racines réelles comprises entre a e^ b, qu'il est marqué par la différence u — v.
Démonstration. Si l'on fait varier x d'une manière continue de a à A, il suit du T^ Lemme, que, pour chaque racine comprise entre a et A , il se perdra 1, et seulement 1 variation de signes. Donc la suite des signes [6] aura autant de variations de moins que la suite [a] , qu'il y a de racines réelles comprises entre a et 6.
Exemple. Soit fa: = x^— |a»-f 4«»— 4x-{-f = 0, on formera les polynômes
f^x = x» — x*-f-2x — 1 , f,x — — 5x» + 7x— 2, f,x = — 54xH-29, f,x = — 925.
!• Soit a:=0, on aura f0=4-l, f,0=— 1, f,0— 2,
f,0= + 29, f,=-925, on a donc la suite de signes
[0]= -|- — 1 , ou 3 variations*
2» Soit x=j, on aura :
00 a donc la suite des signes
[i] = -^ 1 , ou 5 variations^
3° Soit a? = |, on aura :
ce qui donne la suite de signes
[|] = \"\ , ou 2 variations.
4° Soit enfin a;= 1 , on aura :
ce qui donne la suite
[i]=.J — J-0 , ou 1 Variation.
Il y a donc 1 racine réelle entre ^ et f , et 1 racine réelle entre
1 et 1 , les deux autres racines sont donc imaginaires.
(e). Hélhode ée MewtoB pour rapproxlmatlon ées raelnes des équations munériqnes.
Supposons que a soit une valeur approchée de IHine des racines de l'équation fa:=0, alors {{a) différera peu de zéro, et sera un nombre positif ou négatif très-petit. Gela posé, si a est la racine inconnue dont on demande des valeurs de plus en plus approchées, on posera
8 sera une quantité positive ou négative très-petite. Mais on a , par le Théorème de Taylor :
0=f(a)=f(« + s) = f(«) + .f(«) + j^rW + R-
Gommée est très-petit, on pourra négliger le reste R, qui est très-petit à cause du facteur 6^ qu'il renferme, et poser
o = f(«) + .cr« + j^f«.
ce qui donne :
— ra + >/(f'«)«-!2f«.|"â:
On a pris le signe supérieur du radical pour la raison que c doit être très-petit.
On a donc
— Pcc + y(Va)* — 2ïai"a A = tf+- = «,.
T On posera ce qui conduira à
et par suite à la seconde approximation
On aura une S"* correction en posant
A = âî,+f, etc.
Supposons que l'approximation soit poussée assez loin pour qu'on puisse négliger le carré de la correction s, alors, en désignant par cc^ cette valeur approchée ^ et en posant
on cherchera s par Téquation du !«' degré
d OU :
