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et par conséquent

En posant de nouveau on trouvera

ce qui donne la nouvelle valeur approchée

Exemple. L'équation x>-{-Sx — 10=fx-B0, a une racine réelle entre 1 et 2, ou, entre 1,5 et 1,2. Posons

a = l,3+«, on aura

r(l, 3) =19,2805, f'(l,3)=43,94; donc

■-r(i,5) +K(ri.3)« - 2f(i,3)r( i,3> oonise. e ^ii^ =» - o,om»b,

d'où

Cette valeur est déjà très-approchée, car on a

f(l,288814) = — 0,00001619445, résultat fort petit. On peut donc négliger le carré de s, dans le développement de la fonction

On trouve alors

ce qui donne

2"* Exemple. L'équation xlogx— 1^0, a une racine réelle entre { et 2. Posons

a=»^ + £=l,75+f/ on trouvera

a-«+. = l TK , -f(l,75)+»^F(ïjB")'4 2r^(<>7S)f(l,75) ' i"(l,75)

(d) Hélhode ^^approximation par les sirloo.

L'équation proposée fx=iO, étant dégagée des racines égales qu'elle pourrait contenir , on cherche une valeur approchée a de celle a des racines réelles de cette équation , dont on veut connaître la valeur par approximation.

Cela posé; on décompose la proposée en deux parties '4^x, y telles que l'on ait en méoie temps

fx=\fjx—y^0y '4ja^0, et y»>0 , pour x»a.

La valeur de a sera donnée ensuite par la série (c) du S 30, savoir :

^a * da^-4>'x' dx ^il,'J^' 1.2.3 "^ *"^* ==« + A,y4- A^»4- Ajy» + etc.

1" Exemple. Soit Çx = x* + 5x — 10 = 0. Une racine réelle de cette équation est comprise entre 1,5 et 1,2; on prendra donc

«=1,3, et Ton aura :

On peut donc poser :

fa; = ;/'X—y=(x» + 5a;— 10,21 293)+0,21293=0; ce qui donne :

i/;x = x» + Sx— 10,21293, 2/ = — 0,21292, y=xt>x. On a ensuite

^ = ;//a; = 5a:*+5, donc ;//«=. 19,2803, ox

^ = ;^"x=20x», donc -^"«=43,91, ox

Ç^=;/,"'a;=60xS donc i//''u = 101,4.

Donc, en faisant usage de Tables de Logarithmes, on trouvera facilement :

A.y = — 0,011 0ol2, A,y»=— 0,0001389, Ajy' — 0,0000025, etc.,

et par suite

2°*' Exemple. (Voir Poisson y Méc, t. ii , p. 388. ) Soit y a: = (€*+ e^*) eos x + 2 = 0-

Uoe valeur approchée de la racine réelle a de cette équation est

a=l,9 = 108°Sl'43".

Cela posé, on écrira :

yx=i//aî— y==[(c»+e-^) cosxHh2,209829]— 0,209829=0 ,

y =;/;x = {e^^e-^) cos x+ 2,209829 , ^=0,209829. On a donc

ip'a =s (e* — e-a) cos tf — (^* + «"*) sin a ,

»//'a =— 2(e*— e-«) sin « ,

i//"rt =3 — 2(e«— e-«) cos« — 2 (e* + e-«) sin «.

Log cos a = 9 . 509S909 , Log sin a = 9,9760289 ;

2""^ i»AUT. 36