COURBES PLANES

Notations et définitions. Nous supposerons que les axes sont rectangulaires, que X soit l'axe des abscisses, et Y celle des ordonnées. Nous désignerons par M(x,y) un point quelconque de la courbe, x et y étant les coordonnées du point M, savoir x l'abscisse et y Fordonnée. Nous représenterons Féquation d'une courbe plane quelconque par

y=fx ou F(x,y)=0.

Si la courbe est rapportée aux coordonnées polaires, nous représenterons par M(r,e) un point quelconque de cette courbe, r sera alors le rayon vecteur du point M, et e , Fangle que ce rayon fait avec Faxe fixe passant par le pôle. L'équation d'une courbe polaire sera indiquée par

r = f(6) ou F(r,e)«=0.

— assises relations entre les coordonnées rectangulaires et polaires du même point d'une courbe quelconque , sont : j/s»r8ind, a: = rcose.

Dérivée et différentielle de l*arg d'une courbe plane quelconque.

(a) COORDONNÉES LINÉAIRES.

Théorème. Soit s un arc quelconque d'une courbe y=fx, /e dis que l'on aura :

|/dx» + dy*.

Démonstration. On a -^ = j^ + ^•r'(x + £ A«) ,

Cela posé , Tare s de la courbe étant une fonction de x, ^elle que t/»x, on pourra écrire s = i/«x,' celte équation conduit à la suivante ^s 4>(xJ^Ax)—4f d» ,A<» ^„,,..,

0< ^.<1, {2 Soit Ac, la corde de l'arc A«> on aura Ac — K/^y'+^x» , et

As Ac Mais on a évidemment A s^- Ac; donc, on a aussi — >- — .

Soit donc &• A^ une fonction de x qui s'évanouit avec x, et tellç

Ac A s

qu'en l'ajoutant à — on obtient -^ — , on aura celte autre équa- /\x /\ X

A« Ac , , ^

Uon — = l-A'»Aa;.

Aac Aa^

Remplaçons dans cette équation les deux rapports — , — ,

AX AX

respectivement par leurs valeurs (2 et (5 , on aura :

+ *• AX

Si , dans cette équation , nous posons A ^ = » on obtient :

Vdy^^fdx^.