COORDONNÉES POLAIRES

Quand les coordonnées sont polaires , on a

x==rcos^, y==rsind.

De ces relations on tire, par la dlffërentiation

dx dr

-T- = -r- cosd — rsmd ,

de dB

dy dr .

dB dB ^

Mais quand e devient la nouvelli^ variable indépendante » l'expression (4) se change en

ds . .^____«___«^

:?L=Vi+i|j:, ou, en ji=.V(f^)H(^!; V.

dx ~(if-)« dB ^ ^dQ^ ^^dô

Mais en remplaçant dans cette formule les dérivées -r- , -f-- ^ ^ dB ^ dB

par leurs valeurs (S , on obtient enfin

y'r^dB^dr*.

Ce sont les expressions de la dérivée , et de la différentielle de l'arc d'une courbe quelconque en coordonnées polaires.

Corollaire. Gomme on a /d5 = «-j-c, c désignant une constante arbitraire 9 il est clair, que les deux formules différen-

tielles ds^dx\/i -f ( ^)«, d5= d&yr^ + ( —y ,

donneront, pour l'expression de Tare « en coordonnées rectangulaires, et polaires, respectivement:

(6) . + c=/dxVl+(^)% *H-c=/dd\/r« + (^)«.

C'est la tâche du Calcul intégral de donner les valeurs des seconds membres de ces formules , correspondantes à l'équation donnée y=fa? de chaque courbe particulière.

Les formules (6 comprennent la théorie de la rectification des courbes planes.

Dérivée et différentielle de l'aire d'une courbe plane.

Théorème. Soit <t Vaire indéfinie d'une courbe y=fx, je dis que l'on aura :

= y, d,r=ydx.

Démonstration. L'aire <r est évidemment une fonction de x, telle que <r = 7a:.

Donc, quand x devient oc + A^? <r deviendra «"-{-A^; et l'on aura, par la formule de Taylor,

Mais l'accroissement ao* de l'aire cr, correspondant à l'accroissement ^x de X, est évidemment plus grand ou plus petit que le rectangle y*àx; on a donc :

Donc, si k^Ax désigne une fonction de x qui s'évanouit avec Ax, telle qu'en l'ajoutant à y on obtienne le rapport — , on aura

AX

l'équation

AX

A<r Mettons pour — sa valeur ci-dessus, l'équation précédente de-

viendra :

Faisons àx^zO^ il vient :

—-«y; dou dv^ydx.

Théorème. Soit t l'aire dTune courbe polaire r = f(ô), limitée par la courbe j l'axe fixe et un rayon vecteur quelconque r, je dis que l'on aura :

dr

— = ir«, et dr = |r*.d<9.

Démonstration. Car r étant une fonction de e, telle que

on aiira

r+Ar=;c(e + Ae),

Ar exprimant raceroissement de Taire correspondant à Taccroissement de Fangle e. On a donc, par la Formule de Taylor :

Mais si du pôle comme centre, avec le rayon r, on décrit un arc de cercle , le secteur circ^ulaire, correspondant à l'angle àS , aura pour aire

et l'on aura évidemment AT^^T*«Ae , ou

On peut donc poser

Ae < *

£l=ir«=hib.A9.

Ae

Remplaçons le l"* membre de cette égalité par sa valeur, donnée ci-dessus, nous aurons

Fesons a e «= , il viendra

ll=ir«; d'où dr^^r^dê.

ae

1" Rem. Comme on a /diT^tr-^-Cf fdrssxt + c, c étant une constante arbitraire, il est clair que les équations différentielles d(r=:iydx=s{xdx, dr^^^lr^dBy correspondront aux intégrales indéfinies

(T + c^fîxdx, T + c~f^r*dB.

Ces formules feront connaître par l'intégration les aires <r et r , des courbes planes ^ et renferment la théorie de la quadrature des courbes planes.

2"''' Rem. Comme la différentielle première de toute fonction d'une seule variable est de la forme fxdx, on donne aux procédés d'intégration de Texpression ftxdx , le nom de quadratures.

Expression de l'angle que la tangente et la normale en un point

QUELCONQUE û'uNE COURBE PLANE FONT AVEC l'aXE DES ^.