ÉQUATIONS DE LA TANGENTE ET DE LA NORMALE
Notations et définitions. Nous désignerons le point de contact de la tangente par W(x!yy^. Soient T et N les points où la tangente et la normale du point M' de la courbe, rencontrent respectivement l'axe des x.
Les trois points T, M', rï Constituent un triangle rectangle en M'y dont TN est l'hypothénuse. Soit P le pied de l'ordonnée y' y cette ordonnée divise TN en deux segments , dont l'un, PT, adjacent à la tangente se nomme la sous^tangente , et dont l'autre , adjacent à la normale s'appelle la sous-normale.
Nous désignerons par To, le côté TM', par No le côté NM' du triangle rectangle TM'N, par St la sous-tangente PT^ et par Sn la sous-normale PN.
Nous marquerons par a l'angle que la tangente au point M' fait avec l'axe des x, et nous poserons
a = tga.
Nous désignerons par p l'angle qu'une sécante quelconque , passant par M'^ fait avec l'axe des x y et nous poserons
6«tgi3.
Remarque. L'angle d'une droite avec l'axe des x se compte à
partir de la partie positive ie Taxe des oc , et en allant vers la partie positive de Taxe des j/ , par en haut.
(a) Direction de la tangente et de la normale*.
Théorème, a étant T angle que la tangente au point M'(x'y') de la courbe y=:fXy fait avec l'axe des x , je dis que l'an aura
dy'
Démonstration, Soient M'(ac',î^) , M"(ac'^^+ Ax\y'+ AyO deux points de la courbe , et M'M" la sécante faisant avec Taxe des x un angle /3, on a évidemment
Mais a est une fonction de x^ telle que a = ;p(x). Quand x* devient x'+ àx\ a deviendra tf+Aa. Or^ quand x' se change en x'-l-Àx' la tangente au point M' deviendra la sécante M'AI"; on a donc
De plus A a s'évanouira avec ax\
Cela posé on a , par l'équation ci-dessus :
Développons les deux membres de cette équation par la formule de Taylor, on aura, pour son 1" membre
—, +.r(x + *.Ax), 0<e<lj
son second membre deviendra
tg(«+Aa) = tg« + A«-tg'(«+f..A«), 0<ç,<l.
On a donc l'égalité :
Faisons ax' = , donc a« =» , il vient :
dy'
Corollaire 1. On a par conséquent «: = arcrg«-^. Mais on a :
tg a dx
sin a =
cos « =
on a donc aussi :
djf
âse^arcsm — — j et âî=arccos- ^ .
Coroll. 2. Soit y l'angle que là normale au point M' fait avec Taxe des x , on aura :
tgûs.tgy =—1; d'où :
^^~ iga d£ dy''
dx' CorolL 3. On a trouvé
dx' ^ '^^ dx'^ • Donc les expressions ci-dessus de sin a et cos » deviennent
d£ dx' dy'
Théorème. Soit (a Vangle que le rayon vecteur du point M' de la courbe polaire r=f(ô), fait avec la tangente au point
r r'de'
de'
Démonstration. Car a étant l'angle que la tangente fait avec
l'axe des X, on a ;
/t6 = ^ — 9'; donc
dy
• — iffe
iga — tge' dx' Ig^, =
dx'
Il faut changer dans cette expression la variable indépendante x' en 0' , ce qui donne dy'
tg/K =
lis on a :
de'
dx' '««
de'
dy'
de' l+d£ •'<?«'
de'
dj/' dx' sin e' dx' de' cose'
dx' , dy' sin e' de' ' de' cose'
--^=« ^prsineH-y^cosô', -r-r = t-tCosô — r sine, dô' de' 'de de *
à cause des équations
x' = r' cos e' , y' « r' sin e',
DonC; en substituant, il vient :
dr . , , j , dr' . , . , sin«e'
-— sm + r cos e rr sm e + r ;-
de de^ cos e
^^^"""dr^ ; , . , , dr' sin'e' , , . ,
—-cose — r sine + -r-, r + r sine
de de cose
r cos e -f- r
