I— COURBES PLANES ET FIGURES CURVI- LIGNES PLANES

Une courbe plane est une ligne qui se trouve sur un seul plan et qui change de direction à chaque point.

Toute figure bornée par une courbe plane s'appelle figure curviligne plane.

Bien qu’il y ait une variété infinie de courbes planes, mathématiques et non mathématiques, on les comprend toutes dans la définition qui précède, même la cymaise et la spirale, car dans ces deux figures la ligne dévie à chaque point.

On appelle courbe circulaire üne ligne située dans un même plan et qui dévie également dans foutes ses parties.

Une courbe de cette espèce est toujours tirée d’un seul point, et si elle est suffisamment prolongée, elle devient un cercle. Dans le langage populaire, on l'appelle parfois ‘‘ courbe simple.”?

Cercle—Æoure plane bornée par une courbe, appelée éecirconférence,” dont toutes les parties sont à égale distance d'un point intérieur qu’on nomme “* centre.”

Suivant cette acception rigoureusement mathématique du mot, un cercle est l’espace borné par la

courbe ; mais, dans le langage populaire, cercle veut

plane sans fin qui dévie également dans toutes ses parties.

du mot, car il est commode pour le maître de pouvoir l’employer dans l’une et dans l’autre. Il sera toujours

lui est donné.

On peut décrire un cercle avec un compas ouvert, une branche fixe et marquant le centre, l’autre traçant la” circonférence. Le cercle se divise de différentes manières, comme l'indique la vignette ci-près, et il a de nombreuses propriétés mathématiques que l’on apprend et que l’on met à profit à une période plus avancée de ce cours.

Rayon d’un cercle--Z;one droite tirée du centre à la circonférence. IL est égal à l'ouverture du compas avec lequel on a décrit le cercle.

Diamètre d’un cercle—Z;one droite qui va d'un bord à l'autre de la circonférence en passant par le centre. Ainsi le diamètre est double du rayon. C’est la plus longue ligne droite qu'on puisse tirer dans un cercle. Il divisé léceérclé er deux parties égal les similaires appelées demi-cerclés.' Il'péut ÿ avoir un nombre infini de rayons et de di arnètres dans sun cercle.

Secteur— Ces l'espace compris éntre une partie quelconque de la circonférence et deux rayons ; et quart

dire circonférence et pourrait être défini: #re courbe

Faites bien la distinction entre ces deux acceptions

facile de distinguer, par la pensée exprimée, quel sens

l'espace compris entre un quart de la circonférence et deux rayons. De la sorte, un quart est un secteur, mais tous les secteurs ne sont pas des quarts.

Arc—Pariie quelconque de la circonférence ou de toute autre courbe.

Corde—Zione droite reliant les extrémités d’un arc. ‘On emploie souvent à la place du mot corde l’expression ‘‘ base de la courbe.’?

Segment—ZÆspace compris entre l'arc et la corde.

Altitude d’une courbe—Za distance perpendiculaire entre la base et le point le plus élevé de la courbe.

On ne dit pas d’une courbe qu’elle est oblique, | horizontale, verticale, mais on décrit une courbe sur | da ligne qui lui sert de base, et l’on dit: ‘‘une courbe | sur une base horizontale, oblique,’” etc. Quelle que soit sa position, la courbe a toujours une base et une altitude. Vous aurez souvent occasion d’employer ces termes, | surtout dans les leçons de dictée et de tableau noir.

| $ 1. EXERCICE XVIII—Le cercle et ses divisions

Instructions—CERCLE—Au milieu de la partie inférieure de l’espace donné, tirez une horizontale et une verticale, chacune d’un pouce et demi de long et se coupant réciproquement en deux moitiés.

Sur ces deux lignes, prises comme ‘diamètres, äécrivez le cercle.

‘ QuART — Dans le coin supé-

rieur detyqushe, tirez une horizon- À tale d'un pouce de long. A l’extrémité gauche de cette ligne, élevez une perpendiculaire de même hauteur. Ajoutez la courbe qui

complétera le quart de cercle. Ayez soin de ne pas faire la courbe trop plate ; elle doit représenter la 4ème partie d’un cercle.

DEMI-CERCLE—A la droite du quart de cercle, tirez une horizontale de deux pouces de long. À son centre, élevez une verticale d’un pouce de long. Ajoutez la courbe pour compléter le demicercle,

SEGMENTS—Tirez les segments du cercle pour donner à la corde, ou base de chaque courbe, une direction différente.

es élèves n’ont pas besoin d'ajouter les noms des différentes parties, comme le diamètre, la corde, etc.

S'il était essentiel que le cercle fût décrit avec une précision mathématique, il faudrait faire usage du

| compas ; mais cela n’est pas nécessaire ici. Après un

peu de pratique, l'élève sera en état de décrire à main levée un cercle suffisamment exact.

Beaucoup de vos élèves feront d’abord une pitoyable besogne, et ils déclareront qu’ils ne viendront jamais à bout de faire un cercle de cette façon. Mais demandez-leur s'ils peuvent voir des imperfections dans les cercles qu’ils ont décrits. S'ils répondent que oui, dites-leur, ce qui est vrai, qu'avec de la pratique la main ne tarde pas à corriger toutes les imperfections visibles à l'œil. Le progrès n’a pas d’autres limites que la capacité de l'œil. Celui-là seul a raison de se décourager qui ne peut découvrir les défauts de son dessin, lorsqu'ils sautent aux yeux. Dans ce cas, il faut les lui montrer à l’aide d'instruments.

Pour les fins artistiques, le cercle est la moins belle de toutes les courbes, puisque l'œil peut si aisément en découvrir le caractère, savoir : qu’il dévie également

dans toutes ses parties. Plus une courbe est délicate, c'est-à-dire, plus on a de peine à en découvrir le vrai caractère, plus aussi elle plaît à l'œil. Il en est de même des proportions : les proportions simples plaisent moins à l'œil que celles qui sont délicates. Nous aurons occasion plus loin de nous étendre davantage là-dessus.

g 2. L’'Ellipse— Tracé mécanique

On se sert beaucoup de cette figure. Toutes les fois qu’on a d’un cercle une vue oblique, il a l’air d’une ellipse. Aussi, en dessinant sur modèles et d’après nature, faut-il fréquemment dessiner l’ellipse, car les courbes elliptiques sont beaucoup plus belles que les circulaires.

Ellipse— Æ7oure plane bornée par une courbe dont chaque point est à la même distance combinée de deux points qu'on appelle foyers.

Suivant cette définition, c’est l’espace borné par la courbe, et non la courbe eile-même, qui est l’ellipse ; mais, pour la commodité, on se sert souvent du mot ‘ ellipse,” comme du mot ‘‘ cercle,” pour signifier à la fois la courbe et l’espace qu'elle comprend.

la dessiner avec une exactitude parfaite qu’à l’aide d'instruments. On s'y prend de diverses manières. On en a décrit une dans le premier livre. Vous devez la rendre familière aux élèves, s'ils ne la comprennent déjà. En voici une autre :

| L’ellipse étant une figure mathématique, on ne peut

Instructions—Tirez deux lignes 1-2, 3-4, de longueur indéfinie, perpendiculaires l’une à l’autre et se coupant par moitiés.

Du point d’intersection o, pointez de chaque côté, le long d’une des lignes, comme à I et 2, la même distance, savoir, la moitié du grand axe de l’ellipse à exécuter : disons deux pouces dans le cas présent, ce qui fait la distance tout entière 1-2, égale à quatre pouces. De o, sur chaque côté, pointez, le long de l’autre ligne, comme à 3 et 4, la même distance, savoir, la moitié du petit axe de l’ellipse proposée : disons un pouce, ce qui fait la distance tout entière 3-4, égale à deux pouces. Vous avez maintenant les axes de l’ellipse proposée. L'un, 1-2, est deux fois aussi long que l'autre 3-4; on peut aussi bien prendre n'importe quelle autre proportion. Les extrémités de ces axes donnent quatre points dans la courbe demandée, Pour quelqu'un qui est habile à décrire des ellipses à main libre, ces points seraient suffisants ; pour le commençant, ils ne le sont pas,

Prenez un morceau de papier qui ait le bord droit : d’une extrémit(, pointez une distance égale à 1-0 ou la moitié du grand axe de l’ellipse proposée. Mettez la lettre/ à côté de cette marque, et aussi à côté du grand axe, Commençant au même point, marquez sur le même bord du papier la distance 3-0, ou la moitié du petit axe. Mettez la lettre c près de cette marque et aussi à côté du petit axe. Etendez la bande de papier sur les axes de l’ellipse proposée, de manière à faire tomber la marque # sur le petit axe «, et la marque « sur le grand axe /, en même

temps. Le coin du papier donnera un point de la courbe demandée, Marquez-le, Changez le papier de position, en ayan: toujours soin de tenir { sur cet « sur /, jusqu’à ce que vous ayez ainsi exactement obtenu un nombre de points suffisant. Par ces points décrivez la courbe à main levée,

Cette méthode, qui n’est mécanique qu’en partie, est trèscommode, En vous servant d’un bâton, au lieu d’un morceau de papier, vous pouvez ainsi dessiner de grandes ellipses sur le tableau noir. Quelques essais suffiront pour que vos élèves soient au courant de la méthode,

Avant qu’on puisse dessiner une ellipse avec quelque précision à l’aide des axes seuls, il faut que l’œilse familiarise avec la figure en regardant des ellipses rigoureusement bien dessinées. Ainsi donc, demandez de temps en temps à vos élèves de dessiner des ellipses, suivant la manière qu’on vient de décrire, sur le papier ou sur le tableau noir, et demandez-leur ensuite de passer avec soin maintes fois le crayon sur les lignes de la figure. Par là on finit par graver si bien la courbe dans l'œil et par y habituer tellement la main, que l’élève peut ensuite la dessiner à main libre avec passablement de célérité et de précision.

La définition dit que la distance combinée qui existe entre chaque point du contour d'une ellipse et deux points qu'on appelle foyers est toujours la même. Pour trouver les foyers, on n'a qu’à tirer une ligne droite d’une extrémité du petit axe, de l’un ou l’autre côté, au grand axe, en faisant chacune de ces lignes, comme 3 fet 3 jf’, égale à 1 0, moitié du grand axe. Les endroits où ces deux lignes toucheront le grand axe seront les deux foyers, comme jet f'. Maintenant, de n'importe quel point de la courbe, comme a, menez une

ligne droite à chaque foyer et vous aurez a f + af" — 3f + 3f7. C'est là ce qui distingue l’ellipse de toutes les autres courbes. On verra clairement en

consultant le premier livre et en tirant une ellipse |

de la manière qui s’y trouve indiquée, pourquoi elle à ce caractère particulier.

Le centre d’une ellipse est au point où les axes se croisent, comme à © Toute ligne qui traverse d'un côté de l’ellipse à l’autre a son centre à ce

point ; c’est-à-dire que le centre de l’ellipse et le |

centre de la ligne coïncident. Une ligne droite quelconque ainsi tirée divise l’ellipse en deux parties similaires égales, précisément comme le cercle est divisé par son diamètre. Conséquemment, en traçant une ellipse sur du papier transparent, vous pouvez aisément juger si elle est dessinée comme il faut ; car, dans ce cas, la trace peut exactement s'appliquer à l'original dans une position renversée.

Centre d’une courbe plane— Pornf du plan de la courbe qui partage par mottiés toute ligne droite qui le traverse et qut est terminée par la courbe. S'iln'ya pas de point qui remplisse cette condition, la courbe n’a pas de centre.

Centre d’une ligne droite— Point qui se trouve à égale distance des extrémités de cette ligne. Le terme ‘centre? peut s'appliquer au milieu exact d’une ligne, aussi bien qu’au milieu exact d’un cercle.

4 3. Ovale

L'ovale n'est pas une figure mathématique, car il n'a pas de propriétés mathématiquement définies et fixées. I} se nomme d'après son apparence générale.

C'est simplement une figure qui a la forme d’un œuf, c’est-à-dire qu’elle ressemble au contour longitudinal d’un œuf ou à la surface plane qu’on obtiendrait en divisant un œuf dans sa longueur en deux parties égales. Comme les variantes de la forme d'œuf sont innombrables, ainsi le sont les variantes de la forme d’ovale. Mais l'apparence générale demeure toujours la même.

L'ovale est une figure plane bornée par une courbe ayant la forme d'un œuf vu de côté.

Il y a différentes manières de définir un ovale, et vous pouvez vous servir de n’importe quelle autre définition à laquelle vous donnez la préférence. Le point important n’est pas que l'élève se rappelle une définition, mais qu'il ait une notion exacte de la figure.

Lorsqu'on dessine un ovale, on peut en faire la ligne de configuration, partie circulaire, partie elliptique, ou bien on peut le faire entièrement de portions de différents cercles ou de différentes ellipses ; ou bien encore on fjeut faire usage de courbes qui ne sont ni circulaires ni elliptiques. Il est seulement essentiel que la figure ait la forme d’un œuf; que ses deux parties, lorsqu'on le divise en long, soient..similaires et égales, se balançent l’une l’autre. Aucune autre ligne ne le divisera ainsi. L’ellipse a deux axes de symétrie ; l’ovale, un. |

Dans l’usage populaire, on donne souvent à l’ellipse le nom d’ovale, ce qui ne devrait jamais arriver, puisque les deux figures sont tout à fait différentes. Si votre enseignement est ce qu’il doit être, vos élèves ne confondront jamais les deux..

4 4. EXERCICE XIX—Tracé à main levée de l’ellipse et de l’ovale

Instructions pour l'ellipse 2 x 3—a. Dans le milieu de l’espace supérieur de gauche, tirez les deux axes de l’ellipse, en donnant au premier deux pouces un quart de long et au dernier un pouce et demi, ce qui donnera une ellipse avec les proportions de 2 x 3. Par chaque extrémité des axes, tirez une portion de la ligne de contour ; puis unissezles en traçant les portions qui les, séparent. Voyez à ce que la courbe de l’ellipse ne dévie brusquement nulle part ; voyez aussi à ce que les côtés ne soient pas trop aplatiss Comparez soigneusement avec la copie.

Il sera bon de demander que vos élèves, avant d'essayer le dessin de l’ellipse dans leurs cahiers, la dessinent sur leurs ardoises, d’abord, à l’aide d’un morceau de papier, comme on la décrit à la p. 103, puis à main libre. À

Remarquez que chacun de ses axes divise l’ellipse en deux parties égales similaires, et que tous deux ensemble la divisent en quatre parties égales similaires. En comparant ces parties l’une avec l’autre, vous faciliterez le dessin de l’ellipse. |

OVALE—#, Dans le milieu de l’espace supérieur à main droite, tirez une verticale de deux pouces un quart de long. Divisez-la en tiers. Par le point supérieur de division, tirez une horizontale égale à deux parties de la verticale et s'étendant à la même distance des deux côtés. Sur la ligne horizontale comme base, décrivez un demi-cercle pour le gros bout de l’ovale. Sur les deux tiers inférieurs de la verticale, décrivez la moitié d’une ellipse pour le petit bout,

— er rene mel

Remarquez que le grand axe seulement divise l’ovale

en deux parties égales et semblables qui se balancent.

Il n’a donc qu’un axe de symétrie. Comnarez avec l’ellipse qui en a deux.

ELLIPSE 3 X 7—c Au milieu de l’e-nace inférieur, tirez le le grand et le petit axe de l’ellipse, en donnant au premier trois pouces et demi de long, au dernier un pouce et demi, ce qui fera une ellipse ayant les proportions de 3 x 7. Complétez comme dans l’avant-dernier exercice,

Ne fatiguez pas vos élèves en les tenant trop longtemps à la fois occupés du cercle, de l’ellipse et de l'ovale. Revenez-y plutôt très-souvent, jusqu’à ce qu’ils en connaissent passablement les différents attributs.

8 5. EXERCICE XX—Quatre-feuilies rempli

Instructions —Marquez le centre de l’espace accordé dans le cahier. Par ce point, tirez deux lignes, une verticale et une horizontale, chacune d’un pouce et demi de long et se coupant l’une l’autre par moitiés. Sur ces deux lignes, comme diamètres, construisez un carré. Etendez les diamètres de la moitié de leur lon.

gueur au-delà de chaque côté du carré, Sur chaque côté du carré, décrivez un demi-cercle passant par l'extrémité du diamètre prolongé, ce qui complétera la copie du cahier. Maintenant faites de chaque demi-cercle un cercle complet, Puis, par chaque coin du carré, décrivez un demi-cercle reliant les centres des deux côtés adjacents du carré. Ajoutez les autres courbes. Dessinez la figure sur le tableau noir à mesure que la classe la dessine dans le cahier.

Instructions — Marquez le centre de l’espace donné dans le cahier. Par ce point, tirez deux lignes droites, une verticale et une horizontale, chacune de deux pouces de long, et chacune coupant l’autre par moitié. Sur ces lignes comme diamètres, construisez un carré, puis unissez leurs extrémités pour former un plus petit carré. Tirez les diagonales du grand carré. De chaqne coin du petit carré, pointez environ un sixième du côté du carré. Sur chaque côté du petit carré, décrivez un demi-cercle reliant ces points de division, et touchant deux côtés du grand carré. Finissez. Ceci donne la copie contenue dans le cahier. Maintenant décrivez une courbe circulaire convexe vers le centre commun des carrés, pour relier les centres de chaque côté alterne adjacent du petit carré. Terminez.

? 7. EXERCICE XXII—Trèfle rempli

Znstructions—Marquez le centre de l’espace donné dans le cahier. Par ce point, tirez une verticale de deux pouces de long et divisezla en quatre parties égales. Par le point supérieur de division, et s’étendant également de chaque côté de la verticale, tirez une horizontale de pas tout à fait deux pouces de longueur, mais assez longue pour former un triangle équiiatéral, lorsque ses extrémités seront unies par des lignes

droites à l’extrémité inférieure de la verticale. Divisez chaque côté du triangle en quatre parties égales, Sur les deux parties centrales, décrivez des demi-cercles. Ceci donne le résultat que montre le cahier, Ajoutez les autres courbes. Dessinez sur le tableau noir à mesure que la classe dessine dans ses cahiers.

Symbolisme dans l’art.—Lorsqu'on se sert d’un objet pour exprimer une chose que l’objet lui-même n'implique pas nécessairement, cet objet devient un symbole, Les lettres de l’alphabet sont les symboles, D'un commun accord, on les emploie pour représenter des sons auxquels elles ne ressemblent pas le moins du monde. Un faisceau de baguettes est une représentation symbolique de la force dans l'union. Mais il y a sur ce sujet une distinction à faire. Ainsi, lorsqu'on peint un homme avec un marteau et des tenailles, ces ustensiles ne sont pas des symboles ; ce sont les instruments mêmes dont se sert le forgeron au travail, et ils montrent, sans aucun accord de convention, que l’homme qui les tient est forgeron. D'un autre côté, un homme tenant une bride dans ses mains est un symbole en usage chez les anciens pour représenter la tempérance. Ils indiquaient la constance

par une posture—celle d’un homme qui s'appuie contre |

une colonne.

On fait grand usage de symbolisme dans l’art égyptien et dans l’art chrétien du moyen âge. Du symbolisme chrétien nous avons des exempies: dans les figures du trèfle et du quatre-feuilles qu’on vient de dessiner, le premier, symbole de la Trinité, le second,

des quatre évangélistes. La croix est le symbole

du Christianisme lui-même. De fait, Jes nombres 3; 5, 7 devinrent sacrés, 3 signifiant la Trinité, 5 les

cinq plaies, et 7 les sept sacrements. On pouvait voir ces nombres dans le plan d’une église — une

nef et deux aîles—dans le nombre des lumières aux fenêtres, dans le nombre de pointes ou de folioles du feuillage sculpté. Ainsi une rosace gothique n’a jamais

ail

quatre, six ou huit folioles. Même la peinture devint symbolique jusqu’à employer une couleur spéciale pour le vêtement de chaque saint, et un emblême spécial pour montrer les souffrances de chaque martyr.

2 8. EXERCICE XXIII—Moulure de courbes circulaires

lEZustructions—Etendez les horizontales à travers la page et divisez en carrés. Commencez par esquisser le tout en lignes légères.

Après vous être assuré d’une esquisse satisfaisante, finissez. Si l’ouvrage est exécuté comme il faut, il en résultera une série de ercles.

Ce dessin paraîtra dans le bon sens, de quelque point qu’on l’envisage, et en quelque sens qu'on le répète.

Observez combien sont simples les éléments dont se compose cette figure — deux courbes seulement, si nous omettons les lignes droites extérieures. La répétition de ces deux courbes produit un dessin en apparence compliqué.

On verra par une analyse des différents exercices de ce livre que dans chaque cas le résultat final a été obtenu par la répétition de deux ou trois éléments simples. Si l’on peut bien dessiner ces éléments, la figure tout entière pourra être bien dessinée, en y mettant le temps nécessaire.

? 9. EXERCICE XXIV—Moulure de courbes circuiaires entrelacées

Instructions--Etendez les horizontales à travers la page, | et divisez en carrés. Décrivez les longues courbes en plein, puis effacez les parties qui vont dessous. Les petits

cercles occupent environ un tiers de la largeur de la moulure,

Ce dessin paraîtra dans le

bon sens, de quelque point qu’on le considère et lorsqu'on le répétera ‘en haut et en bas ou à droite et à gauche, Les longues courbes sont des parties de cercles parfaits. !

2 10. EXERCICE XXV—Moulures de formes de fleurs alternativement renversées

Instructions— Après avoir étendu les horizontales à travers la page et fait les divisions convenables, commencez par dessiner d’un bout à l’autre la longue courbe aux ondulations continues.

Cela fait à votre satisfaction, vous pouvez ensuite aisément ajouter les autres courbes. Tâehez 4e faire les courbes gracieuses,

Il n’est possible de voir ce dessin à son plus grand avantage que s’il est répété horizontalement sur une surtace verticale,

RS oo