CHAPITRE X

MÉTHODES POUR CALCULER LES NOMBRES D£3 DENTS OUE LES BOUES ET LES PIGNONS D'UNE MACHINE DOIVENT AVOIR, POUR QUE PLUSIEURS D'ENTRE ELLES FASSENT EN MÊME TEMPS DES NOMBRES DONNÉS DE REVOLUTIONS.

Tous les auteurs qui ont écrit sur l'horlogerie, et les [sa vans mathématiciens qui ont écrit sur la mécanique, ont donné des règles plus ou moins simples, plus ou moins faciles à exécuter, pour déterminer les nombres des Âents des roues et des ailes des pignons que doivent avoir les diverses parties d'une même machine, afin que l'ensemble du rouage puisse faire faire à la dernière de ces roues un nom? bre donné de révolutions pendant un ou plusieurs tours de la première. Il n'entre pas. dans notre plan d'exposer ici toutes les me-* thodesquiont été proposées; nous n'écrivons pas pour les savans artistes auxquels toutes les difficultés du calcul ne sont pas étrange-» res; notre but est de donner aux ouvriers ordinaires, peu versés dans cette science, des procédés faciles pour résoudre tous les problêmes crue l'horlogerie ordinaire peut nécessiter. Nous indiquerons , à ceux qui désireront s'adonner à des recherches d'un ordre plus relevé, les sources dans lesquelles ils pourront puiser pour satisfaire leurs besoins ou leur curiosité.

Nous ne connaissons pas de procédé plus

DE L HOELOGER. 2 ! I

simple que celui qu'a indiqué Camus dans ses Elément de mécanique statique, livre onzième. Ce sera par conséquent ce savant académicien que nous prendrons pour guide dans ce que nous avons à dire sur le sujet que nous traitons. Nous allons nous occuper de la solution de quelques problèmes qu un ouvrier peut avoir intérêt de résoudre dans la pratique de l'horlogerie usuelle , c'est-àdire la plus généralement exécutée.

Principe fondamental.

« Soit qu'une roue conduise un pignon, ou qu'un pignon conduise une roue , le nombre des tours de la roue , multiplié par le nombre de ses dents , est égal au nombre des tours que le pignon fait en même temps, multiplié par le nombre de ses ailes; en sorte que les nombres des tours contemporains de la roue et du pignon sont réciproquement proportionnels aux nombres de leurs dents.

i* Supposons que les nombre des dents de la roue À, et du pignon F 9 soient représentés par les lettres majuscules À, F,

» Et que les nombres de leurs tours cou* temporains le soient par les petites lettres,

w Nous devons démontrer que a X A ^/"x F? et que par conséquent a :/:: F : Ar

» i° Le nombre des dents de la roue étant représenté par A , à chaque tour que fera la roue, il engrènera dans le pignon un nombre de deats représenté par A. Ainsi, pendant

a i a MANUEL

que la roue fera un nombre de tours exprima par a, il engrènera dans - le pignon un nombre • de dents représenté par a X A.

< » 2° Puisque F, représente le nombre des ailes du pignon , à chaque tour que fera le pignon , il engrènera dans la roue un nombre d'ailes représenté par F. Ainsi, pendant que le pignon fera un nombre de tours exprimé par £, il engrènera dans la roue un nombre d'ailes représenté.paryx F.

» Mais pendant que la roue et le pignon feront leurs révolutions contemporaines, il engrènera autant de dents de la roue dans le pignon, qu'il engrènera d'ailes du pignon dans la roue. Ainsi l'on aura a x A =zf X F ; et regardant les deux termes du premier membre: de cette équation comme le- produit des extrêmes., et les deux termes du second membre comme le produit des moyens d'une proportion géométrique, l'on aura a : f\\ F :À, ce que nous avons avancé.

» On doit conclure de cette démonstration que si l'on a un rouage composé d'autant de roues qu'on voudra , et d'un pareil nombre de pignons engrenant successivement les uns dans les autres, le même principe aura lieu pour chaque partie du rouage. Supposons quatre roues désignées par les lettres majuscules A, B, C, D, et les quatre pignons désignés par dçs mêmes lettres majuscules F, G, H, I ; nommions de plus par les petites lettres a,f, g, h, i, les nombres des tours contemporains de la, roue A, et des pignons F, G, H, I, on aura,

d'après la proposition précédente , pour cba-r que roue engrenant dans son pignon correspondant, les quatre proportions suivantes :

» Multipliant ces quatre proportions par ordre, c'est-à-dire les antécédens de chaque rapport entre eux, ainsi que les conséauens aussi entre eux , selon les règles de l'arithmétique, et supprimant dans les antécédens et dans les conse'quens de chaque -rapport les termes qui se répètent dans les uns et dans les au t ces, les .termes du premier membre se réduisent à deux, a, et i, les termes f,g, elh 9 se répétant dans les antécédens et dans .les conséquens de ce rapport , Ton a la proportion composée suivante :

« : « : : F x G X H x I : A x B x C x D d'où l'on déduira l'équation a X A X B x C X D =/ X F X G X H x I, et par consé-

. a x Ax BxCxD

quent i = — = ^ ; — .G est- à- dire

^ F xGxHx I

5[ue le nombre des tours i, du dernier pignon , sera égal au nombre des tours a, de la première roue A, multiplié par le produit des nombres des « dents de toutes les roues , et divisé par le produit des nombres d'ailes de tous les pignons; de sorte que si l'on fait a=i, c'est-à-dire si la roue A, n'est considérée que comme faisant un tour, le résultat <Je cette équation donnera le nombre de

2l4 MANUEL

tours i, que le pignon I, fera pendant que la roue A, achèvera un tour»

» Il suit encore de cet exemple que si Ton avait, dans le rouage que Ton se proposerait d'exécuter, une ou deux roues et autant de pignons de plus où de moins crue les quatre que nous avons supposés dans 1 exemple pré?

cèdent , il suffirait d'ajouter aux quatre proportions que notre exemple nous a fournis , ou d'en retrancher le nombre suffisant, pour n'en avoir qu'une pour chaque roue et chaque pignon.

Cette règle générale bien comprise, est applicable sans exception au calcul de tous les rouages que l'horlogerie ordinaire peut réclamer, comme on va le voir par les exemples que nous allons donner.

PROBLÊME I er .

Trouver les nombres des dents et des ailes qu'il

faut donner aux roue* et aux pignons aune

horloge, portative ou non, qui doit battre les

secondes, c'est-à-dire 36qo vibrations par

heure.

L'usage, dans les montres de poche, a fixé à quatre le nombre des roues et des pignons, ainsi dénommées, i° grande roue moyenne qui fait un tour toutes les heures; 2° petite roue moyenne ; 3* roue de champ ou 3 e roue ; 4° roue d'échappement. Nous désignerons ces roues par les lettres majuscules A, B, G, D ; la roue A, engrène dans le pignon G, qui

DE L HORLOGER» 2l5

jporte la roue B ; cette seconde roue engrène dans le pignon H, qui porte la roue C; cette troisième roue engrène dans le pignon I, rivé avec la roue D; cette quatrième roue D, n'en-* grène dans aucun pignon, mais elle est retenue dans sa marche à chaque dent par la pièce d'échappement dont il faut considérer la construction et les effets.

L'on connaît aujourd'hui trois sortes d'échappement usités dans les montres ou horloges portatives, et dans les autres horloges non portatives : i° l'échappement à recul, tel que celui désigné sous le nom d'échappement à roue de rencontre; a° les échappemens à repos , qui sont en grand nombre ; 3° les échappemens à vibrations libres ou indépendantes. Dans les échappemens des deux premières classes, chaque dent de la roue d'échappement produit deux vibrations lorsque) la roue est simple, c'est-à-dire lorsque les dents de la roue sont taillées sur la circonférence de la même roue comme dans un roche t; mais chaque dent ne produit qu'une vibration lorsque ces dents sont placées alternativement sur les deux surfaces de la même roue , comme dans l'échappement à chevilles de Lepaute, décrit page i/±ik i45,et dans notre échappement, décrit page 127 ai 3o.

Les échappemens à vibrations libres ou indépendantes, tels que l'échappement d'Arnold, décrit p. 125 à 127; et 1 échappement à force constante dont nous avons parlé p. 70, ne laissent passer qu'une seule dent pendant

2l6 MANUEL

deux vibrations. IL est donc important , pour résoudre le problême que nous nous sommes proposé, et pour ceux qui suivront, de connaître la nature de l'échappement qual'on doit employer, puisque c'est un élément qui doit entrer dans notre calcul. Nous serons donc forcés de donner deux solution» chacune applicable à l'un de ces cas. '

Premier cas, c'est-à-dire lorsque chaque dent produit deux vibrations. D'après le principe général, le premier membre de l'équation que nous cherchons serait x ^jj?;

. J i Gxflxl

mais comme chaque dent de la roue D produit deux vibrations , nous devons multiplier D , par 2 , et ce premier membre de- . AXBXCX2D

GxHxf 5 maiS par une condition du problême, l'horloge doit battre 36oo vibrations ; ce nombre doit donc devenir le second membre de notre équation, et nous

AxBvCyîD aurons — -___ ==36oo. En divisant

le «econd membre par 2 pour débarrasser D de son coefficient, et faisant passer par voie de multiplication le diviseur G x H x I, dans le second membre , nous aurons A X B x C V.TV 36oo XD = — x G x H x *> et exécutant la

division, nous aurons AxBxCxD=i8oo X G x H X I. Comme nous sommes maîtres de donner à chaque pignon le nombre

que nous voudrons, nous choisirons pour' chacun d'eux le nombre 10, afin d'avoir de meilleurs engrenages, ce qui transformera notre équation en celle-ci :

AxÔxCxD=i8ooXioX ioX 10.

H ne s'agit plus que de décomposer ces quatre nombres en tous leurs facteurs, c'està-dire en les divisant successivement par 2 autant que cela est possible, puis par 3, et enfin par 5, car ce sont, dans ce cas, les plus petits nombres qui puissent les diviser, et Ton écrit sur une même ligne les diviseurs qu'on a employés, ainsi quil suit. Divisant 1800 par 2, j'obtiens pour quotient goo, que je divise par 2 , et j' obtiens 45o^ lequel divisé par 2, donne 225, qui n'est plus divisible par 2 ; je le divise par 3, j'obtiens n5, lequel divise encore par 3, donne 25, qui n est divisible que par 5; le quotient 5, divisé par 5, donne 1, ce qui indique que l'opération est exacte ; enfin lés trois pignons me donnent aussi chacun 2 et 5 ; j'e'cris tous ces diviseurs à côté les uns des autres : 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 2,5,2,5, 2, 5, qui sont les facteurs dont on doit se servir.

Lorsque F échappement est à roue de rencontre, on est limité pour le nombre de dents qui doit être impair, et par sa grandeur. Cette limite s'étend depuis 11, jusqu'à 17. Mais n'ayant, dans tous les facteurs trouvés, aucun nombre qui puisse former un de ces quatre

ÊroduitSj on prend 3 et 5, qui donnent 1 5 pour \ t nombre des dents de la roue d'échappement D.

* Il ne reste donc plus qu'à partager les autres facteurs en trois bandes, dont les produits donneront les nombres de dents que doivent avoir les trois roues À, B, G.

Npufe lçs divisons ainsi qu'il suit : i° 2 X ax3»x5=(io pour la roue A ;

f,2X5x5fc 5o, pour la roue B ;

3° a X a X a X 5^s 4°> P our l ft TOVLe C.

Notre rouage se compose donc ainsi qu'il

suit :

Deuil. Pignon*. Tout.

B. 5o«^^^-^io. . . 6

C 4o-»-Z^^*io. • • 5o

D. . . ..... i'5 io* . . 120-

Mais comme chaque dent de la roue D, donne 2 vibrations, en multipliant 120 tours par 3o 9 double du nombre des dents de la roue D, on a pour produit 36oo vibrations , ce qui nous e'tait demandé.

Deuxième cas, c'est-à-dire lorsque la roue d'e'cbappement ne laisse passer qu'une seule dent par chaque deux vibrations. Alors la roue D , ne doit pas avoir de coefficient dans le premier membre de l'équation primitive, et par conse'quent le premier terme du second membre ne doit pas avoir de diviseur. Elle $era ainsi qu'il suit : A x B x C X D = 36oo x 10 X 10 X 10, et en opérant comme nous l'avons indiqué pour le premier cas, on obtiendra un 2 pour facteur, de plus que ceux que nous avons notés. Alors laissant toujours la roue d'échappement de 1 5 dents, *

se l'jior'Cogëi. ii 9

et donnant 10 ailes à chaque pignon, on aura pour les nombres des dents des roues Ar=8o; fe = 60 ; C== 5o; D 2= i5. En exécutant l'o-*

Itération indiquée page a 18, on trouvera que a roue D, fait $4° tours pendant un tour de la roue A, et en multipliant %^o par i5, nombre de vibrations que la roue D fait faire au régulateur par chacun de ses tours , on trouvera comme précédemment pour produit 36oo vibrations par heure.

Note essentielle. Lorsque les dents de la roue d'échappement sont moitié sur une surface et moitié sur Vautre, comme dans l'échappement à chevilles de Lepaute, décrit page 1 4 1 , ou comme dans notre échappement décrit page 1 aa, on peut exécuter le calcul dès deux manières : i° si l'on compte seulement' les dents sur une seule. surface, on exécute comme dans le premier cas, en donnant à la' roue D, le coefficient a ; 2° si l'on compte les dents sur chaque surface et qu'on les additionne , ou qu'on multiplie par 2 le nombre de dents d'une seule surface, ce qui revient an même , on exécutera l'opération comme dans le deuxième cas, sans donner aucun coefficient à la roue D.

Cette règle est générale et sans aucune exception, quel que soit le nombre de vibrations qu'on veut faire battre à l'horloge. Les nom-, bres qu'on adopte aujourd'hui pour les montres sont i44 00 P our 4 vibrations par seconde, ou 18,000 pour 5 vibrations par seconde. Il n'y a cfcme qu'à substituer au nombre 3, 600 l'un

320 MANOKL

des deux nombres que nous venons de donner, ou tel autre qu on voudra, et changer le nombre donné des pignons, en ceux que l'on aura adoptés. Le reste de l'opération est comme nous l'avons indiqué.

Le même calcul et la même marche doivent être suivis pour trouver les dents des roues et des pignons qui doivent précéder la grande roue moyenne, lorsqu'on veut faire aller l'horloge plus de trente heures, par exemple 8 jours , un mois, un an , etc. On multipliera le nombre de jours proposés par 24 > nombre d'heures de chaque jour, et l'on formera l'équation. Supposons qu'on veuille la faire marcher 8 jours, ce qui donnera 102 heures ou 192 tours que doit faire la roue des minutes A, pendant un tour de la roue P, on aura cette équation P X Q, etc. = 192 X 16 X ia , etc., en supposant que dans ce cas on veuille avoir deux roues et deux pignons, et l'on opérera comme ci-dessus.

Il reste à donner quelques notions sur l'application de cette règle générale aux horloges dont le régulateur est un pendule. Deux cas seulement se présentent, et il suffira de donner la solution de deux problêmes pour éclairer cette double question, qui se réduit à une simple préparation pour les ramener à la rè-> gle générale.

DE LHORLOGER. 2» l

PROBLÈME n.

Trouver les nombres des dents des roues et des ailes des pipions pour une horloge dont les vibrations sont fixées par la hauteur de l'espace

dans lequel doit être renfermée la machine.

Toute la question se réduit à connaître la longueur qu on peut donner au pendule, car lorsqu'on connaît cette longueur, on trouve facilement, à l'aide de la table que nous avons .donnée page 190, le nombre cte vibrations que Ce pendule peut battre pendant une heure. Ainsi , si la nauteur de la boîte, mesurée avec exactitude, est de 8 pouces ou 96 lignes environ , depuis le point de suspension, on voit sur la table qu'il battra 7700 vibrations par heure , ce qui suffit pour faire rentrer ce problême dans la solution du problême I.

PROBLÊME ffl.

Trouver les nombres des dents des roues et des ailes des pignons du rouage dHune horloge lors-' que la longueur du pendule est donnée} ou déterminer la longueur du pendule lorsque le nombre des vibrations est donné.

Lorsque la longueur du pendule est donnée, l'inspection delà table, page 190, donne dans sa première colonne le nombre de vibrations ; et vice versa, lorsque le nombre des vibrations est donné, on trouve dans la seconde colonne de la même table la longueur

du pendule en lignes , et dans la troisième en millimètres.