CHAPITRE n. - DES COURBES D^INTRADOS

dre, car on peut toujours trouver une infinité d'anses de panier qui enveloppent l'ellipse ayant les mêmes axes; mais, si l'on tient absolument à un grand débouché, ce n'est pas à une anse de panier qu'il faut recourir, c'est à un arc de cercle.

Rappelons sommairement les principales propriétés de l'ellipse (figure 6, planche 1),

L*ellipse est une courbe telle que la somme des distances d'un quelconque de ses points M à deux points fixes ou foyers F et F' est constante. On a donc la relation

llF+HF'=2a = AÂ

La courbe est symétrique par rapport à ses deux axes : le grand axe AA' ou ia^ sur lequel se trouvent les foyers et le petit axe BB' ou ^b.

De la définition même de la courbe se déduit immédiatement une construction pratique, dite métiiode des jardiniers :

Elle consiste à prendre un cordeau de la longueur du grand axe, à en fixer par des pointeslesextrémités aux deux foyers, et l'on décrit la courbe d'un trait continu au moyen d'un crayon, placé en M, de irianière à tendre constamment le cordeau. Le point M appartient toujours à l'ellipse, car on a toujours MF -h MF' = 2a.

Quand le point M vient au sommet du petit axe en B, les deux longueurs BF et BF' sont égales entre elles et égales à (a), de sorte que la longueur OF qui détermine les foyers, est donnée par l'équalion

La tangente à la courbe au point H est bissectrice de l'angle que forme le rayon vecteur MF avec le rayon vecteur prolongé MF'; donc, pour construire la tangente au point M, il suffît de prolonger F'M d'une longueur MK égale à MF, de joindre KF et d'abaisser du point M une perpendiculaire sur cette base du triangle isocèle KMF.

LanormaleMDEestperpendiculaircâla tangente, donc elle divise l'angle FMF' en deux parties égales. Le rapport des deux longueurs MD et ME, interceptées sur

la normale par les axes de la courbe est constant et égal à -^.

Mais la propriété de l'ellipse, la plus utile dans la pratique, c'est qu'on peut toujours la considérer comme la projection d'un cercle, ayant pour diamètre AA', et situé dans un plan qui fait avec le plan de l'ellipse un angle B déterminé par

la formule cos = -. Si l'on suppose ce cercle rabattu sur le plan de l'ellipse, il permet de construire l'ellipse par points avec une grande facilité. En effet, les ordonnées PN, PN', correspondant à la môme abscisse OP sont

entre elles dans le rapport constant - . Si donc nous décrivons les cercles de

rayon OA et OB, que nous menions un rayon quelconque ON', il rencontre le cercle inlérieur en G; menons par G une parallèle au grand axe, et par Y une parallèle au petit axe, leur intersection donne un point N de la courbe. On a de Id sorte autant de points de la courbe que l'on veut. Si l'on mène la tangente au cercle en N% elle rencontre le grand axe au point T,

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ei la tangente à Tellipse passe aussi en ce poiut T ; cette tangente est doac la droite TN bien facile à tracer de la sorte.

On en déiluit la normale NQ, que Ton peut encore détcrraincr par une autre considérulion ; c*est lu suivante : la sous-normale PQ est dans un rappoi t constant

avec rabscisre OP ou x du point N, et ce rapport constant est égal à -, , donc

on a :

et calculant une fois pour toutes le rapport constant, on aura rapidement la normale.

La conna'ssnnce des rayons de courbure de Tellipse est impm'tante, car elle est la base de la roiistnutiori des anses de panier.

Le rayon de courbure aux sommets du grand axe est égal à. . , —

— -- petit axe — ù. . . -r-;

Si donc on joint hs y oints A et B (figure 7, planche 1) que par S et R, on mène des parallL-lcs à Al>, la longueur OB/, représentera le rayon de couri>uie aux sommets du grand axf, et ia longueur OS' le rayon de courbure aux sommets du petit axe.

Remarquons encore que Tordounée correspondant au foyer est précisé-

ment égale à - , c'est-à-dire au rayon de courbure au sommet du grand axo.

Le rayon de courbure en un point quelconque M de Tellipse s'obtient par la construction géométrique suivante :

Connaissant la normale BiDE au point M, on lui élève en D la perpendiculaire i)K qui rencontre le rayon 0.U en un point K, par lequel on mène une parallèle KL au petit aKe. Le point L est le cenire de courbure de rélément M de 1 ellipse cl la droite UA est le rayon de courbure.

Ainsi, nous avons appris à construire non-seulement la normale, mais encore le rayon de courbure en un point quelconque de Teilipse. Pai- ce moyen on pourra tracer facilement une ellipse à la main môme en vraie grandeur; on conrjtruira les rayons de courbure aux sommets et deux rayons intermédiaires, et avec ces rayons on tracera des arcs de cercle comme on le voit sur la figure. La courbe enveloppe de tous ces arcs de cercle représente l'ellipse. Avec un peu d'habileté, ou la tracera à la main avec ime exactitude suffisante pour la pratique.

Dan» le cas où Ton ne voudrait pas construire gépmélriquement les rayons de courbure, on les déduira de la formule :

i\.\v.MiH\\iv\\c\\ repré>cnte la tangente trigonométrique de l'angle que fait avt?n !.• ;;rand a\e la nonnab» en un point de Tellipse. Souvent, Ls épures d'exécution sont trop grandes pour que l'ion puisse effcc'

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