CHAPITRE II. — DES COURBES D'INTRADOS

Voici les valeurs de ce rapport pour une série de surbaissemcnts (m)

Pour w=0 le rapport des aires est., •

ou 1,27

"^=ro

— est T-^ o« *»2^

— est • . -^— ou 1,16

-. est 5:£1 ou 1,06

» est.. • 1 ou i

Ainsi, pour un surbaissement très-considérable, par exemple de -^, on peut théoriquement augmenter le. débouché de -^\ en réalité, la courbe limite n>st point réalisable, et Faugmeiitation aura beaucoup de peine à aitem-

Mais, quand la voûte est moyennement surbaissée, l'avantage devient insignifiant.

Dans quelques anciens ponts on a substitué à Tellipse la double parabole que nous avons représentée en poinlilé sur la figure (8). Elle est d'un tracé assez simple, car il suffit de diviser les lignes hc et ah en un même nombre de parties égales et de joindre les points de division successifs ; les droites ainsi obtenues sont des tangentes de la parabole et elles permettent de la tracer d'un trait continu. La parabole obtenue dans Tangle cha a son axe quelque part dans cet angle; c'est sur Taxe que le rayon de courbure est minimum, donc, le rayon de courbure va en diminuant depuis la naissance jusqu'à Taxe de la courbe et en augmentant depuis cet axe jusqu'au sommet.

Cette particularité est d'un médiocre effet. Au point de vue du débouché, la parabole ne diffère guère de l'ellipse, ainsi qu'on le voit sur la figure. H convient donc de la rejeter; elle est plus difficile qu'une ellipse à tracer exactement.

On a quelquefois proposé aussi la chahietlc ; elle a les inconvénients de l'arc de cercle, bien que ce soit une courbe assez pure. Elle est inutile et son emploi compliquerait inutilement la construction. C'est, comme on sait, la courbe qu'affecte un fil pesant maintenu à ses deux extrémités.

Bien que l'usage de l'anse de panier soit appelé à disparaître, nous ne pouvons cependant pas ne pas donner ici les diverses méthodes en usage pour le tracé de ce genre de courbes.

\^ Anse de panier à trois centres. — Lorsqu'on s'est donne l'ouvcrlure et la montée, les trois rayons ne sont point déterminés. 11 faut une condition de plus.

Quelquefois on se pose la condition que les trois arcs correspondent à dos anules au centre égaux, c'est-à-dire à des angles de CO*^. Supposons le problime résolu, et soient oV,o' les trois centres, figure (9) planche (l). Le triangle ooV est équilatéral puisque ses trois angles sont égaux à 60®, et, si Ton appelle x la distance {do'), le second côté du triangle rectangle doo' est égal à Js^j d'autre part, la longueur o^b est égale kx+a^ei l'on a :

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c'est-à-dire

équation du second degré d'où on tire :

valeur facile à construire en prenant dk=z a — b, construisant le triangle équilatéral dgk, et rabattant la hauteur hg de ce triangle, ce qui donne le point o'. En effet.

éU/ ou»=d^-fAo'=if*+*^=5 (tf — 6)+ W?(a — 6)«.

Dg la connaissance du point o\ on déduira immédiatement le triangle équilatéral ooV et par suite les trois centres.

Il y a une construction plus simple due a Huyghens, mais qui ne permet point de calculer les rayons par une formule algébrique. La voici :

On décrit sur (ab) comme diamètre un demi-cercle, on mène le rayon dm qui fail avec (da) Tangle de 60"*, c'est-à-dire qu'on prendla corde {am) égale au rayon ; on joint mn et par le point c on mène à celle droite une parallèle qui rencontre am au point (e) ; par ce point e on mène une parallèle à dm et Ton en déduit les centres oeto".

Bossut s'est proposé, non pas d'avoir des arcs correspondant à des angles égaux, mais des arcs dont les rayons diffèrent entre eux le moins possible : il en résulte pour la variation brusque de la courbure la moindre valeur possible, et on obtient l'effet le plus satisfaisant pour les yeux. Figure 40, planche I.

Soit y et a; les deux rayons cherchés; on a: a: — y=oo'\a — y = do"yX — b=od\ et du triangle rectangle odo'' il résulte :

Si Ton résout cette question par rapport à x, on trouve :

b — y ' y by—f-

Le rapport d'^ à y sera minimum, ainsi que leur différence, lorsque la dérivée de ce rapport sera nulle. Egalant à zéro la dérivée de l'expression précédente et remplaçant a^-\-V par c*, il vient :

y = — --; , d'où on déduit : x = r^ — rr

Menons la droite ac, elle est égale à y^a* -h h^ c'est-à-dire à c; retranchons-en la longueur cp égale à (a — J), et élevons au milieu de ap une perpendiculaire à cette droite ; cette perpendiculaire nous donnera les centres cherchés o' et o" ; en effet, en comparant ensemble les triangles sembables oo"dy o"aq d'une part, oo"d et cda d'autre part, on trouvera par la proportionnalité des côtés deux équations qui fourniront pour a? et y les valeurs précédentes.

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