CHAPITRE U. — DES COURBES D-INTRADOS

2® Méthode de PerroneL — Perronet a adopté pour ks voûtes du pont de Neuilly des anses de panier à onze centres, tracées de la manière suivante :

On prend arbitrairement (figure H , planche I) le premier rayon aux naissances ob, on divise la longueur od en cinq parties variant comme les nonibres 1 , 2, 3, 4, 5 ; on prend sur Taulre axe une longueur do^ triple de do et on divise celte longueur en cinq parties égales. On joint les points de division correspondants des deux axes et on adopte pour les centres de courbure les points d'interseclion successifs de toutes les lignes ainsi tracées o, o^, o„ o,, O4, O5. Par cette construction dont le point de départ est arbitraire, on n*aboutira pas au sommeto de l'intrados, mais è un point situé soit au-dessus soit au-d* ssous.

Il faut donc modifier le premier rayon de manière à tomber juste au sommet : appelons x la longueur que doit avoir cfo et y la longueur que doit avoir éfojj pour que la courbe voulue se réalise, et soit n et m les valeurs arbitraireslrouvées pour do et rfojdansle premier essai; désignons par s la longueur du polygone CjO^OgO^o dans le premier essai, et par z la longueur du même polygone lorsque la courbe voulue sera réalisée.

Le développement de ce polygone est égal au plus grand rayon O^C, ce qui se traduit en algèbre par Féquation.

On admet que le polygone définitif odo^ sera semblable au polygone d'essai; c'est une condition que Ton se donne arbitrairement et Ton pose :

mz ^ SX

ti = — et « = — .

Ces valeurs, portées dans Féquation (1) permettent d*en tirer la valeur de x^

m-hn—g

Connaissant la valeur de x tous les rayons s'en déduisent naturellement.

Cette méthode, très-compliquée, n'est pas usuelle ; on pourrait la simplifier de la manière suivante : On ferait un premier cs^ai qui conduirait au point (f, puis un second essai avec un rayon initial plus faible qui conduirait en c". Sur une ligne droite on porterait les valeurs dex do" elrfo', en 0' on élèverait l'ordonnée o'J égale à c(f et en 0" l'ordonnée oV égale à ec" et comptée négativement. La droilr cV coupe l'horizontale enun point qui donne la position qu'il convient d'adopfer pour le centre do courbure situé sur la ligne des naissances.

Cette interpolation géométrique, à laquelle nous avons eu recours plusieurs fois déjà, est bien plus rapide que les calculs précédents.

^^ Méthode de M. MichaL — Dans une notice publiée en 1851, M. Tingénieur Michal se propose d'indiquer un moyen direct de tracer les courbes en anse de panier, à un nombre quelconque de centres et de calculer les quantités dont on peut disposer, de manière à satisfaire, autant que possible, aux conditions que nécessitent le débouché le plus fuvorable à dunner aux eaux, le raccordement des arcs sans solution trop biusque de continuité et la solidité de l'appareil des voûtes. »

La méthode graphique de M. Michal est une extension de la méthode d'Hnyghens que nous avons donnée plus haut pour le tracé des anses de panier à trois centres.

Digiti

40 FONTS EN MÂÇœiNERlE.

Supposons qu*il 8*agisse de tracer une anse de panier à cinq centres (ligure 5 planche II), avec une ouverture A A' et une montée RA; décrivons un demi-K:ercIe sur AA' comme diamètre et divisons-le en cinq parties égales; joignons les points de division au centre. Donnons-nous arbitrairement le premier rayon aux naissances Ar^, AVji; par le point r^, menons une parallèle r^, b à RB, cette parallèle coupe la corde AB en b ; par ce point b menons une parallèle bc à BC et par h une parallèle Ac à HC: nous déterminons ainsi le point c par lequel nous menons la droile cr^ parallèle à CR ; cette droite fixe les deux derniers centres r, et r^. Le premier élément est seul arbitraire.

Laii^rure 6 de la même planche représente une courbe à sept centres; on a pris arbitrairement le premier rayon Ar^, on a mené br^ ; on s*est donné arbitrairement le second rayon br^, on a mené r^e parallèle à RC et bc parallèle à BC ; on a tracé cd parallèle à CD et hd parallèle à HD; par le point don a mené la droite dr^ parallèle à DR et cette droite a détermina les deux derniers centres r^ et r,. Dans ce cas, nous avons donc choisi d'une mh lière arbitraire les deux premiers éléments.

D'une manière générale, la construction ne doi ne toujours que deux rayons. Donc, si la courbe est à 2 n -H 1 centres, c'est-A-dire à n+i rayons, il y a (n — 1) rayons d'indéterminés.

Mais on ne dépasse jamais le nombre de neuf centres.

Le premier rayon aux naissances n'est pas absolument arbitraire; nous avons montré qu'il devait être supérieur au rayon de courbure de l'ellipse, c'est-à-dire à

— et inférieur à la montée b.

Si Ton veut opérer par tâtonnement, on pourra donc se donnner, comme

ij

point de départ, une valeur intermédiaire entre - et fr, construire une première courbe^ si elle n'est point satisfaisante à Toeil, on recommencera avec un nouveau rayon initial jusqu'à ce que Ton obtienne une bonne solution.

Hais H. Miclial a voulu éviter ce travail; il a cherché à déterminer la valeur des rayons arbitraires de manière à ce que les anses de panier construites avec ces rayons approchent le plus possible des ellipses qui auraient pour demi-axes la demi-ouverture et la montée. Dans cette intention, il a adopté pour longueur de chacun de ces rayons le rayon de courbure qui, dans l'ellipse correspondant à l'anse de panier à tracer, partagerait en deux parties égales chacun des arcs de l'anse de panier.

Il serait hors de propos de développer ici les formules nécessaires au calcul de chacun de ces rayons; nous nous contenterons de donner les tableaux qu'en a déduits M. Michal ;

Digiti

CUAPITRË U. — DES COURBES DlNTRiDOS.