CHAPITRE UI. — TIIÉORÎE DES VOUTES

ces, et les blocs eux-mêmes ont légèrement basculé en dehors de la voûte. L'ensemble delà consliuction s*est décomposé en quatre leviers articulés, qui oui tourné respcciivement autour de leurs arêtes opposées.

La figure iO représente une voûte en arc de cercle surbaissée au J ; lorsqu'on ! en surcliargeait chaque culée d'un poids de 50 livres et qu*on décinlrail ensuite, [aucun mouvement ne se produisait; mais lorsqu'on ne disposait aucune suicharge sur les culées, on voyait si^ produire au décintrement les mouvements indiqués par la figure 10 ; le joint vertical s'ouvrait à lintr ados et les joints des naissances à Textrados, en même temps que les culées basculaient légèremenlsnr leur arête extérieure. La voûte proprement dite se divisait en deux leviers articulés s'arc-boutant en (a) et tendant à chasser les culées par les arêles (b). Quoi que Touverture du sommet soit généralement peu accusée, elle a néanmoinslieu, puisque le sommet descend et que l'ouverture de la voûte s'agrandit un peu par la rotation de chaque culée.

En plaçant sur la voûie en arc de cercle des reins en briques (figure H), on a observé précisément les mêmes effets ; mais les culées avaient plus de résistance par le poids qui les chrrgeail, et les briques placées sur les petits dés se sont détachées des reins en formant une lézarde verticale.

La figure V2 représente une voûte en arc de cercle surbaissée à peu près au quinzième; le poids de la voûte est de 111 kilogrammes, et le poids de chacun (les blocs formant culées d'environ 100 kilogrammes. On voit que \t\ voûte sV>t ouverte à l'intrados à la clef sur trois joints consécutifs, et à Textrados aux naissances. Les culées ont encore basculé légèrement sur leur arête extérieure, bien qu'elles fussent surchargé; s chacune en leur milieu d'un poids de 327 livres. En (iiminuant peu n peu la valeur de cette surcharge, on vit le sommet de la voût(> descendre et les culées s'écarter jusqu'à ce que l'équilibre fût définitivement rompu; les deux leviers formant la voûte ne pouvant plus alors s'arc-bouler obéirent à la pesanteur et s'écroulèrent.

La figure 13 représente une plate-bande formée de claveaux droits ; cette platebande se divise aussi en deux leviers articulés égaux; pour s'écrouler, il faut que ces leviers tournent l'un sur l'autre, suivant leur arête supérieure à la clef, et - suivant leur arête inférieure aux naisances. Mais cette rotation entraîne forcément un accroissement de la distance horizontale qui sépai e les points d'appui sur les culées, et cet accroissement de distance ne peut se produire que par une relation des culées sur leur arête extérieure. Or, si le moment du poids des culées par rapport à cette arête est supérieur au moment de la poussée de la plate-bande, le renversement des culées ne se produira pas et l'équilibre persistera. Tout revient donc à charger les culées assez fortement pour qu'elles ne prennent qu'un mouvement d'une amplitude très-faible. L't ffondrenient, ne se produira que lorsque le basculement des culées aura été assez considérable pour que l'ouverture de la plate-bande soit devenue égale à la ligne brisée (aba).

Des expériences que nous venons de relater, Boistard tire les conclusions suivantes :

« La première conséquence qu'on doit tirer de ce qui précède, est que la théorie ordinaire de l'équilibre des voûtes doit être entièrement abandonnée. La marche régulière de nos expériences faites sur des voûtes assez grandes et dont la forme est si varice, la similitude de nos résultats avec ceux qui ont été observés dans les voûtes des ponts construits par Perronet et consignés dans son ouvrage, nous assurent que nous possédons les véritables données du problème de l'équilibre des voûtes, résolu jusqu'à présent d'une manière hypothétique et

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contraire à Texpérience. En effet, il est constant que jamais les v-oussoirs n€ glissent les uns sur les autres, mais qu'ils tournent sur leurs arêtes et que les voûtes, considérées avecleurs pieds-droits, se brisent toujours. enjquatTe parties priiicipales. C'est donc raction et la.réactioii de ces quatre parties qu'il s'n<:iL desoumettrc au calcul, afin qu'il en résulte Téquilibre; sur quoi nous ferons observer qu'une • voûte peut avoir de la stabilité indèpeiidatnmentde tout équili::re, toutes les fois que les parties agissantes qui partent de la clef ont moins d'action que les deux | résistantes qui partent des naissances de la voûte ou de la base des pieds-droits. » j

Nous nous sommes étendu peut-être un peu longuement sur les expériences de Boistard ; mais elles nous paraissent une in.roduclion indispensable à la théorie des voûtes. Lorsqu'on les a bien présentesà l'esprit, celle théorie est beaucoup plus facile à suivre et comprendre.

^nétliodes aHeleiuBe»- pour le calevl des '«•Atei. — On considéra d'^bôrd les voûtes comme un assemblage de voussoirs ou de coins, dont les plans de joints étaient parfaitement polis. Dans ce cas, pour que les parties de la voûte se soutiennent en équilibre, il faut que les pressions réciproques, que les voussoirs exercent perpendiculairement à leurs lits se détruisent mutuellement. Sans entrer dans les détails du calcul d'un pareil assemblage, il suffira de remarquer que dai:s une voûte en berceau ayant pour section un demi^cercle, le dernier Youssoir aux naissances ayant un plan de joint horizontal a son poids supporté tout entier par ce plan; il ne peut donc exercer aucune réaction sur leplandejoiiitduv^aussoir immédiatement supérieur et équilibrer l'afition de ce dernier que à on lui doaane un poids infini. L'hypothèse admise nous conduit donc à une voûte ayant une épaisseur infinie aux naissances, c'est à -dire que Textrados est une courbe ayant pour asymptote l'horizontale des naissances.

On arrive donc^ par cette hypothèse, à un résultat ahsurde. Les hypolhèses sur lesquelles le géomètre Lahire base la théorie des voûtes qu'il donna en 1712, ne sont pas mieux justifiées, bien que les formules et les iables qu'il en déduisit fussent . encore en usage au conunencement du siècle actuel.

Les recherches de Couplet (1750) et celles même de Coulomb (4775), dans lesquelles les voûtes sont considérées comme des leviers articulés tournant autour des arêtes de certains voussoirs, passèrent pour ainsi dire inaperçues.

Ce sont les expériences do Boistard qui doinnèrent l'essor à la véritable théorie de voûtes et la firent passer dans la pratique.

Après le mémoire, publié en 1820 par M. Audoy^ commandant du génie, vint celui de MM. les ingénieurs Lamé et Clapeyron, que noua allons examiner.

Mémoire «le RIAI. liamé et ciapcTroD. — Lesiduteors prennent comme point de départ les résultats expérimeisitaux que nous nous sommes attachés à mettre en lumière en rapportant plus haut les expérienoes de Boistard.

« Parmi les hypothèsessur lesquelles on a fondé la théorie de l'équilibre des voûtes, disent-il, la seule adnoissible est celle qui le ramène à l'équilibre de quatre leviers pesants, assemblés à charnières, égaux en poids aux deux portions de la voûte comprises entre le milieu de la ciel et les joints» de rupture et à-telles limitées par ces joints de rupture et ipar les bases des pieds-droits. Denomhreoses observations, sur une grande quantité de voûtes dégradées, et des espépiences faites directement pardvhabiles constructeurSyOnt prouvé que les deux derniers leviers tondent à tourner autour des arêtes. extérieures de 'leurs bases, et qu'alors les deux premiers, se touchant entre eux par l'anêle extrados du milieu <le la olef, touchent les lautres par les arêtes intrados des joints de rupture.

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CIÎAPlTaE IH. — THÉORIE DES VOUTES. 55

ft Pour trouver Téquation d'équilibre de ces leviers, il est donc nécessaire de connaître la position des joints où la rupture tend à se faire dans chaque espèce de voûtes. Or, parmi tous les joints que Ton peut concevoir sur les reins d'une voûte, le joint où la rupture tend à se faire, sera celui pour lequel le levier supérieur pressera Textréraité mobile du levier inférieur avec une force horizontale dont le moment, pris par rapport au point fixe dudit levier, sera le plus grand possible comparé au moment de la pression verticale exercée à la même extrémité mobile. Il faudrait donc calculer ces moments pour un joint quelconque, en fonction d'une variable, dont on déterminerait la valeur par la condition du maximum dont nous venons de parler ; mais l'application du calcul des maximas à cette recherche est impraticable, à cause de la complication des calculs auxquels elle donne lieu ; on se contente ordinairement de calculer les rapports des moments pour plusieurs joints supposés et l'on prend pour joint de rupture celui qui donne le plus grand de tous les rapports obtenus ».

Désirant ne pas appliquer ce*te longue méthode de tâtonnement, MM. Lamé et Clapeyron se sont proposé de simplifier l'équation d'équilibre des quatre leviers, dont uae voûte est composée :

La figure 1 de la planche IV représente une voûte en plein cintre montée sur deux pieds-droits ; supposons connus les jointsde rupture qui se trouvent en B et D. La voûte se sépare en quatre leviers, savoir : 4® deux leviers inférieurs, tels que FB, dont le poids est m' et dont l'extrémité F est fixe, tandis que l'extrémité B et le levier tout entier tournent autour de cette extrémité fixe ; 2® deux leviers supérieurs, tels que BK, de poids w, qui tournent autour du point mobile B, de telle sorte que leur autre extrémité K reste sur la verticale KR *.

Le poids vertical m se décompose en deux forces verticales appliquées, l'une

en K et égale à — , l'autre en B et égale à k Le levier KD donne au point K

une seconde composante verticale égale à — , ce qui fait en tout une force verticale

égale à - — . Cette force verticale se décompose en deux forces égales dirigées

suivant KB et KD ; on pourra les obtenir en construisant le parallélogramme des forces dont on connaît la diagonale verticale — =7 KM' et les directions des cô-

tés KB' et KD' ; ce parallélogramme a ses quatre côtés égaux, donc la moitié KO

de la diagonale ou - — est égale au cdté KB' multiplié par le cosinus de l'angle

B K N^ cosinv dont la valeur est

KN y ou

par suite, la force cherchée, dirigée suivant KB, est égale i

f n va sans dire qfue neas raisonnoiis snr le profit transversal de la toute parce que nous supposons à cette voûte une longueur égale à L'unité. G^st toujours ata« quo l'on opère ; les pressions se transmettant dans la section droite, la longueur de la voûte dans le sens des génératrices du berceau nlnfluft^pMfur la stftbilit4«

C'est cotte force que le levier supérieur transmet par le point B au levior inférieur : en B nous pouvons, pour la facilité du calcul, ia décomposer en deux autres :

lune verticale égale à — et l'autre horizontale égale à — . X y

Quant au poids m' du levier inférieur, il a deux composantes : Tune au point ^\x^ F inutile à connaître, et l'autre en B égale à —7- en posante/ = FP. Ainsi les forces verticales agissant en B ont pour somme

ma . mlx^a) , mV m'a* .

- + —-—+—. ou -^ + m.

et les forces horizontales se réduisent à —

La poussée horizontale tend à renverser le pied-droit, etlapression verticale, au contraire, tend à le ramener sur la base. Suivant la relation qui existera entre ces deux tendances, la voûte s^effondrera, restera simplement en équilibre, ou présentera une stabilité absolue.

L'effet de chacune de ces forces sur la rotation du levier dépend de sa grandeur et de son bras de levier par rapport au point fixe F, c'est-à-dire de son moment par rapport à ce point fixe, nous avons vu que le moment d'une force était le produit de celte force par son bras de levier.

Le moment de la poussée horizontale en B est égale à — - en posant y' == BP,

^ le moment de la pression verticale est

--p4-m la/, ou tfSd-^-maf,

Le moment résultant est la différence des deux précédents, c'est-à-dire :

(!) wfaf'\-ma*'^tMX

Sa valeur dépend de la position du point B où Ton a placé le prétendu joint de rupture.

Il faudrait chercher le joint pour lequel la différence précédente serait minima; c'est en ce joint que le rapport du moment de la poussée au moment de la résistance serait maximum ; c'est donclà que se trouverait le joint de rupture.

Ayant trouvé le minimum de l'expression (1), nous aurons trouvé par suite le joint de rupture ; et, suivant que le minimum sera positif, nul ou négatif, il y aura stabilité absolue, équihbre simple ou renversement.

La question est donc ramenée à calculer le minimum de l'expression (1).

Cette expression peut se mettre sous la forme :

«•o'-I-iimC-I-iimi— ma — ma?-, ou (m'a'-4-m(«'-h«)— ma?^ — ^«

Le premier terme représente le moment MA de la demi-voûte totale par rapport au point fixe F, et, si l'on pose en outre :'

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