CHAPITRE ni. — THÉORIE DES VOUTES

on arrive à la formule simple

„. H -, /HÂ tna\ ,o.

Uk^tnaj. ou ^{r-T) v«)

Le facteur H est constant ainsi que le premier terme de la différence dont on veut trouver le minimum ; ce minimum correspondra donc au maximum du

terme simple -r-. .

De la formule (2) MM. Lamé et Glapeyron déduisent des faits fort remarquables»

que le constructeur des voûtes ne doit pas oublier :

<( La quantité — ne dépendant que de la forme de la partie supérieure de la

voûte, si on détermine pour une voûte quelconque le point de rupture^ ce point de rupture restera le même de quelque manière que la voûte se termine au delà de ce point, quelles que soient la forme et la hauteur des pieds-droits. »

a Le point de rupture se trouve à la naissance dans toutes les voûtes surbaissées , dont r origine se trouve au-dessus du point de rupture déterminé pour la voûle totale. »

Lorsque la voûte tend à se renverser, on peut combattre cette tendance en augmentant le moment résistant, c'est-à-dire en plaçant sur les reins un poids H, situé à une distance z delà verticale 6P du point de rupture.

Ce poids /A se décompose en deux forces verticales, l'une en K égale à —,

— — et l'autre en B — MJîziiO

L*autre moitié de la voûte donne en K une seconde composante égale à la pre-

mière, de sorte qu'il en résulte une force totale -^ , laquelle se décompose suivi?

vaut EB et ED en deux poussées égales

/ta y g* -i". y*

« y La poussée KB, étant décomposée au point B en deux forces, Tune verticale

uZ

et l'autre horizontale donne, suivant l'horizontale, une force — ou, ce qui est

identique ^ et suivant la verticale une force —.

les forces supplémentaires agissant en B par suite de l'addition de la sui charge sont donc :

Suivant la verticale. . — — î- -f ^ = fi dont le moment par rapport u F est ux',

Suivant l'iiorizontale . ^ — — ^ (11—^)

La différence de ces deux moments, dont le premier augmente la stabilité, tandis que le second la diminue» cette différence mesure l'influence de la sur-

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^% POSTS BN MAÇONNERIE,

charge par rapport à la stabilité et elle peut s*écme:

Si elle est positive, Taddition du poids fi aura augineiité la stabilité ; si elle est nulle, le poids /x n'aura servi à rien, et ai elle est négative, il aura augmeaté la tendance au renversement.

Tant que sera plus grand que r> l'addition de la surcharge sera avanta-

^euse ; l'égalité = - marque !a limite au delà de laquelle la surcharge de-

vient désavantageuse. Cette limite s'obtient en menant l'horizontale KX jusqu'à la rencontre de FB prolongée, car les deux triangles semblables XBV^ XFZ donnent précisément Tégalilé précédente.

Ainsi tout poids placé à gauche delà verticale 11 est favorable à la stabilité de la voûte et l'augmente, tout poids placé à droite de cette verticale diminue la stabilité.

Il va sans dire que ce résultat n'est applicable qu'aux voûtes pour lequelles l'addition du poids 11 ne change pas la position du point de rupture ; généralement il n'en est pas ainsi, si ce n'est dans les voûtes suffisamment surbaissées pour que le joint de rupture se trouve toujours aux naissances.

Le moment résultant de la présence du poids p est égale à

lorsque le poids est à droite de la verticale du point de rupture et à

lorsque le poids est à gauche; dans tous les cas on voit que :

Une surcharge quelconque ^a est d* autant plus favorable à la siabilitt\ quelle est

placée plus près de la verticale passant par le point de rupture.

Mais revenons à la recherche de la position du point de rupture ; il correspond

au cas où la quantité — est maxima; pour calculer {m) et (a), c'est-à-dire le

poids et le centre de gravité du levier supérieur (fig. 5, planche IV), il faudrait savoir suivant quelle ligne se produit la rupture; cette ligne est toujours normale à l'intrados au point B, et dans une voûte appareillée en voussoirs, elle est dirigée suivant un plan de joint parce que la résistance à l'arrachement est Taible dans cette directron. Remarquons que la direction de celte ligne de rupture n'a qu'une influence insignifiante sur les quantités (m) et (a), car la longueur BG est dans les voûtes ordinaires bien supérieure à l'épaisseur de la voûte, €t on modifiera peu la surface du levier BCK si on la limite à une droite quelconque par exemple à la verticale passant en 6.

Admettons donc que la rupture se produit suivant la verticale BlI.

La recherche du joint de rupture sera ramenée à celle de la verticale pour

laquelle le rapport -j- est maximum. Or, nous avons démontré en analyse qu'aux «nvirons de son maxmiun) toute quantité reste sensiblement eenstanteet récipro-

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CIIAIMTRE IIK — TUÉQRIE DES VOUTES. 59

qncmcnt; donc, le maximum de -7- correspondra à la posilion de la verticale DU

via telle que la quantité — demeure constante pour cette position et pour les positions voisines, M, par exemple. Celte constance ne peut s'obtenir que si le rapport de raçcroissement de ma à raccroissement de h est égale au rapport de ma à A, en effet, de l'égalité

ma-\-d(ma) ma ^ .^ ... ,.^. d {ma) ma . , , / = -7- résulte regalité }..' = -r- • h'^d[h) h ° d(h) h

Traduisons cette égalité :

i<» L'accroissement de (ma) comprend deux termes : le premier est raçcroissement (lu moment de BCKH qu'il faut prendre par rapport à (b) et non plus par rapport à B, ce premier terme est m x BD, c'est un infiniment petit du premier ordre; le second terme est le moment du quadrilatère hllbh par rapport à t, ce moment est un infiniment petit du second ordre, il est donc négligeable devant le premier terme puisqu'il est infiniment petit par rapport à lui ;

î2® L accroissement de h est égale à Dt.

L'égalité devient donc :

Le rapport j-r mesure à la limite la tangente trigonométrique de la tangente à

rintrr.dos au point de rupture b. Or, si Ton prolonge la verticale m du centre de gravité du levier supérieur jusqu'à la rencontre avec l'horizontale menée par le sommet de l'extrados et que l'on joigne OB, cette ligne sera inclinée sur la verticale d'un angle dont la tangente trigono métrique aura précisément pour valeur -; la ligne OB se confond donc avec la tangente à l'intrados au point de rupture, et de là résulle le théorème suivant :

« Le point de rupture est celui pour lequel la tangente deVintradoSy en ce point, vient couper f horizontale passant parle sommet de la clef, au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la masse tendant à se détacher ».

Ce résultat, remarquable par sa simplicité, disent MM. Lamé et Clapeyron, nous a paru utile à énoncer, parce que, sans exiger aucun calcul, il permet de fixer le point de rupture avec une exactitude suffisante dans la pratique. 11 suffit pour cela de construire la courbe résultant de l'intersection de la tangente en un point quelconque de la courbe intrados, et de la verticale qui passe par le centre de gravité de la surface correspondante ; cette courbe coupera T horizontale qui passe par l'extrémité supérieure de la clef en un point ; si par <e point on mène une tangente à la courbe intrados, le point de conlact sera le point de rupture. Cette méthode est générale et s'applique aux voûtes extradossées d'une manière quelconque.

Voici donc comment se déterminera pratiquement le point de rupture [fîg. -4, planche 4) :

>0n (mènera une sècie de verticales a2>, a'&\ a"V', on cherchera les centres de gt^avité des surfaces abcd, a'Vcd... et par ces centres on fera passer les verticales m, m', m".». ; on tracera les tan^ent^ à l'intrados en a, a', a"...; elles

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couperont les verticales susdites aux points «, s\ s"... que r on réunira par un Irait continu. La courbe ainsi obtenue rencontrera Thorizontale du commet c de la clef en un point «'" par lequel on mènera la langente s"V' à l'intrados; le point de rupture sera en a'" et le centre de gravité de la partie supérieure de la \oûte qui tend à se détacher se trouvera sur la verticale «'"m"'.

La seule difficulté résulte de la détermination des centres de gravité : pour celte détermination, ce qu'il y a de plus expéditif et de meilleur, suivant nous, i c'est de découper dans de bon papier fort les surfaces telles que {abcd), figure 5, et de les suspendre à un fil par deux points différents P et Q ; on prolonge la verticale du fil et on marque au crayon les lignes ?x et Qy, dont Tinlersection G donne le centre de gravité. On obtient autant de vérifications que l'on veut en suspendant la surface pnr d'autres points. Par celle méthode on opère très-rapidement et avec une exactitude bien suffisante, ainsi que nous avons eu plus d'une fois l'occasion de le vérifier.

MM. Lamé el Clapeyron ont cherché à déterminer par l'analyse la position des joints de rupture dans les voûtes en berceau et dans les voûtes spbériques. Ce serait sortir des limites de notre cadre que de les suivre dans leurs calculs plus curieux et plus ingénieux qu'utiles.

Ainsi, ils démontrent que dans une voûte circulaire dont l'épaisseur constante t'st le -^ de l'ouverture diamétrale le point de rupture est situé sur le rayon qui fiîit avec l'horizon un angle de ZA^ZT, Comme résultat pratique, il suffit de se 1 appeler que cet angle est d'environ 30® et que par suite le joint de rupture est situé sensiblement au môme niveau que le milieu du rayon vertical, c'est-à-dire sur l'horizontale menée par le milieu de la montée.

Ces auteurs cherchent encore à déterminer les formes les plus avantageuses à donner aux intrados et extrados des voûtes; mais ils reconnaissent euxmêmes que cette recherche n'a rien de pratique et constitue simplemen un exercice analytique.

Ce <ju'il faut retenir de leur mémoire, ce sont les théorèmes que nous avons mis en évidence en les inscrivant en italiques et qui sont d'une importance capitale :

1® Si on détermine pour une voûte quelconque le point de rupture, ce point de rupture restera le même de quelque manière que la voûte se termine au delà de ce point, quelles que soient la forme et la hauteur des pieds-droits.

D'après cela, le point de rupture se trouve à la naissance dans toutes les voûtes surbaissées dont l'origine se trouve au-dessus du point de rupture déterminé pour la voûte complète.

2* Une surcharge quelconque est d'autant plus favorable à la stabilité qu'elle est plus rapprochée de la verticale passant par le point de rupture.

3<* Le point de rupture est celui pour lequel la langente à l'intrados, en ce point, vient couper l'horizoniale passant par le sommet de la clef, ^au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la masse tendant à se détacher.

Une question sur laquelle MM. Lamé et Clapeyron n'insistent pas dans leur mémoire, c'est la détermination des pressions à la clef et au point de rupture; ces pj essions résultent cependant immédiatement de la construction qui sert à fixer le point de rupture.

Le point de rupture étant en (ab) et la clef en (cd), la voûte s'ouvre en {ab) et {cd] comme le montre la figure 6 de la planche IV et le levier abcd transmet au joint de rupture une pression qui passe par (a) et au levier de l'autre demi-voûte

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