CHAPITrE m. — TnÉORIK DES VOUTES. 6t

une pression qui passe par le sommet de la clef (d) ; quelle que soîl la direction de ces pressions, c'est leur composante normale aux joints qui seule nous intéresse au point de vue de Técrasement des matériaux. Nous aurons les deux composantes cherchées SQ et SR en décomposant par le parallélogramme des forces le poids Sm de la masse tendante se détacher.

Ainsi, théoriquement, les pressions tout entières se transmettraient par les seules arêtes (a) et (d) et celles-ci devraient s'écraser ; mais, en réalité, Télaslicite des matériaux entre en jeu et les pressions se répartissent sur une certaine étendue des joints. Nous reviendrons ultérieurement sur celle importanli; question.

Nous avons exposé en détails le travail de MM. Lamé et Clapeyron, parce qu'il donne des résultats clairs et précis, et, si L; lecteur a bien voulu le parcourir avec attention, il comprendra plus facilement ce qui va suivre.

Méthode de M. liléry. — Dans un mémoire publié en 1840, M. Méry, ingénieur des ponts et chaussées, se propose de donner le moyen de vérifier la slahililô des voûtes par une construction géométrique qui dispense de tout calcul.

Et en effet il donne une construction ingénieuse et fort simple, d'une application facile, qui s'est propagée rapidement et qui est aujourd'hui d'un usage général, bien qu'elle ne conduise qu'à des résultats illusoires.

Toute la méthode de Méry est contenue dans la construction de la courbe des pressions, qu'il s'agit tout d'abord de définir.

Un joint Ce d'une voûte donnée (planche II, figure 7) reçoit de la partie qui le surmonte des pressions généralement variables d'un point à l'autre de ce joint. On ne tient pas compte de la cohésion des mortiers ou résistance à la traction, qui du reste est infiniment moindre que la résistance des matériaux à la coin pression, et on n'admet pas que le mortier travaille par traction; les efforts transmis au joint Ce consistent donc uniquement en des pressions, qui peuvent être nulles en certains points du joint, mais qui ne se tianbforment nulle part en tensions (celles-ci ne pouvant se produire puisque dés qu'elles prennent une valeur notable elles déterminent la disjonction des points en contact). Cela prouve que toutes les forces agissant sur le joint Ce sont dirigées de haut en bas, et que par suite leur résultante ne peut sortir du joint, elle est toujours comprise entre C et c, et se place en un de ces points extrêmes lorsque la partie supérieure de la voûle ne transmet sa poussée à la partie -inférieure que par une arête de voussoir.

Réciproquement, la partie inférieure de la voûte exerce sur la partie supérieure une réaction p dont le point d'application 7 est compris entre C et c.

Supposons que la poussée hot izontale P exercée par la seconde moitié de la voûte sur le joint vertical Bb de la clef soit appliquée en p ; le centre de gravité de la surface B&Cc en g et le poids de la portion de voûle correspondante est représenté par la verticale S.

Celte portion de voûte doit se trouver en équilibre sous l'action des trois forces extérieures P,/^S qui la sollicitent, l^ous connaissons S en position et en valeur absolue, nous connaissons seulement la direction de P, et nous supposons comme les points d'application p et y de P et de p.

Prolongeant S jusqu'à Thorizontale P et joignant le point d'intersection au point 7, nous aurons la direction de p, et nous obtiendrons les valeurs de P et p en décomposant le poids S suivant le parallélogramme des forces.

Mais laissons cela de côté pour le moment et revenons à la courbe des pressions : celte courbe est le lieu des points 7, c'est-à-dire le lieu des points d'ap-

e: fWTS EN ÏAÇOMEftlE.

plicaiion de la résultante des pressions qui s'exercent sur chaque plan de

La coiube des pressions est, comme nous l*avoiis vu plus haut, toujours comprise entre Tiiitrados et Texlrados, et, si elle veaaitù en sortir, c'est que 1 équilibre serait irap(»ssilile.

La figure 8 planche II, la représente dans une de ses positions exirêmes^ elle part du sommet de Textrados^ passe à Tintrados du jodnt de rupture et à Texii-udosA du pied-droit; la voûle se divise en quatre leviers tournant autour de k urs arêtes comme nous l'avons vu dans la tiiéorie de MM. Lamé et Ciapeyron.

Dans la figure 7, Tépaisseur de la voûte estplus que suffisante pour l'équilibre mathématique et la courbe des pressi/>ns, bien que se rapprochant plus ou moins des points B,c, A ne las touche pas. Dans ce cas, dit M. Méry, la courbe des pressions est encore utile pour faire connaître les parties faibles de \^ voûte et donner la mesure de sa solidité; ainsi, d'abord il est évident que c'est dans les joints Bè,Cc,Afl que la maçonnerie présente le plus de chances de rupture ou d'écrasement; en iiecond lieu, puisque la résultante des pressions que supportent les divers points de (jg est en y, la portion cy de ce joint supportera au moins la moitié de la pression totale. 11 faut donc, pour que la voûle soit solide, que cy soit assez grand, eu égard à la natuœ des matériaux, pour supporter au moins la Ntoilié de la pression totale sur le joint considéré ; il faut pareillement que Its épaisseurs Bp, Âa soient assez grandes pour supporter respectivement les demipressions totales des joints B^, Aa.

On admet que sur un joint donné Ce la résultante des pressions est dirigée suivant la tangente à la courbe des pressions que nous venons de tracer; le calcul montre que cela n'est vrai que si la corurbe des pressions passe parle centi^ de gravité du joint, mais il indique en outre que cette hypotiièse s*éloigne assez peu delà vérité pour qu*on puisse sans inconvénient' la considérer comme vraie dans la pratique.

A la seule inspection de la courbe des pressions, on peut donc reconnaître Tinclinaison sur un joint donné de la résultante des pressions qu'il supporte. Ainsi, ligure 9, la résultante des pressions sur le joint Ce. fait un angle f avec ce joint, et si cet angle ^esl trop aigu, les deux parties de la voûle, accolées suivant le joint, glis>ent l'une sur l'autre comme le montrent les llàclies.

La force qui tend à produire le glissement est la composante p coi ang^ de la résultante p i^uivant la direction Ce.

Le gljssemetit se produit réeUement (d'après Doistard) lorsque le rapport de la force de glissement à la pression totale atteint. 0,76 ; la limite inférieure des valeurs admissibles pour laagle 7 résulte donc de réquation

colang 5> = 0,76, ce qui donne y = 37*» environ.

Perronet indique une valeur plus forte; il a constaté que les voussotrs d'une voûte en construction commençaient à glisser sur leuri joints lorsque Tludinni son. de ceux-ci atteignait 39<^ à 40^, ce qui porterait le rapport précédent ou la valeur de rotang ^ à 0,81.

Dans la figure 9, c'ebt sur le joint GV que le glissement semble le plus à craindre et c'est là qu'il faudra examiner la valeur de langle 7; si elle est inlé* rieui^e à 40 ', la solidité du pied-droit sera fort douteuse.

Au contact des naissances et du sol naturel, le glissement est quelquefois à craindre, et la po sibilité de le voir se produire doit toujours être présente à Tesprit du constructeur.

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LUAPITRE m. — TiiÉGilffi DES VOUTES. 6S

Tracé de la courbe des pressions^ *— La coimaissance de ia courbe des pressions serait donc tort avanlagease»

Malheureusement^ elle es.t iiidéterniinée.

Si Ton veut la tracer, il faut au préalable se donner deux de ses points, et alors voici comnient on détermine tous le» autres :

1° On prend par exemple les poiais a et p, fïgvtfe. iO plancheâ, comme points d'application sur îe plan de joints des naissances ka et sur le plan de joint de la clel'B^. La direction de la poussée à la clef, résultant de la présence de l'autre moitié de la voûte, cette direction est horizontale par raison de symétrie, c'est la droite |3X ; prenons le centre de gravité de la surface BfcAe et menons la verticale SG qui passe parce centre de gravité, elle rencontre en K rhorizontnle précitée. Prenons à une échelle donnée le poids KS de la partie de voûte comprise entre les deux plans de joint Aa, Bb ; cette partie de voûte est en équilibre, comme nous l'avons déjà vu plusieurs fois, sous 1 action des trois forces extérieures qui la sollicitent ; ces trois forces concourent donc au point K et la droite Ka est la direction de la résultante des pressions sur le joint Aa; décomposant le poids KS suivant la règle du parallélogramme des forces, nous trouvons que la poussée à la clef est mesurée à Téchelle par l'horizoutale SR ou KP et la pression totale en a par la droite KR.

La poussée à la clef qui est une chose constante et indépendante de la position du joint Aa est donc connue une fois pour toutes.

C'est elle qui va nous servir à trouver le point 7 où la courbe des pressions coupe un joint quelconque Ce :

Cheixhons le centre de gravité de la surface BiCc et menons la verticale sg qui passe par ce centre de gravité; elle rencontre riiorizoataie |3X, direction de la poussée à la clef, en un point A; à partir duquel nous prenais à l'échelle ia droite ks, représentant le poids de ia portion de voûte BbCc ; cette portion de voàte est en équilibre sous l'action de son poids lu, de la poussée à la clef kp et de la réaction inconnue exercée dans le plan de joint Ce» Cette réaction n'est autre que la diagonale kr du parallélogramme construit sur ks et kp, laquelle coupele plan de joint Ce au point cherché 7, qui appartient à la courbe des pressions.

On trouvera par cette construction géométrique simple autant de points que l'on voudra de la courbe des pressions, qui setrouie ainsi complètement dé» terminée.

2^ On peut ne pas connaître ia poussée à ia clef ^X, et n'avoir pour données que les centres des pressions « et 7 sur les plans de joint Aa et Bfr. Ren^rquons alors que si nous menons rhorizontale qui passe par « et que nous supposions connues les directions kt et Kœ, nous aurons deux groupes de triangles senriilables tmk et rsk, aMK et RSK dans lesquels existent les rapports

i na mk Ma MK ou. nUt

r« "^ As ' RS ou r« "" KS '

Divisant ces rapports l'un par l'autre, il vient :

mt KS , ., KS

-— = 1— ou m< =: M«c -T- Ha ks ka

équation qui détermine mt, puisque Ma est connu et que KS et ks sont des quanh tités proportionnelles aux poids des parties de voûte Bi^ Aa et B^Gc. Connaissant le point ty on joint ty^ qui coupe la verticale tns au point k ; on

mène rhorizontale A:Xqui donne le centre de pression à la clef |B, ainsi que la valeur de la poussée horizontale qui résulte immédiatement du parallélogramme des forces, et Ton continue comme précédemment la construction des autres points de la courbe des pressions.

Application de la courbe des pressions. — !• M. Méry commence par faire Tapplication de la courbe des pressions à une voûte idéale construite en matériaux infiniment résistants.

Dans ces conditions, la stabilité est assurée pourvu que la courbe des pressions reste toujours comprise entre l'intrados et l'extrados, et cette courbe peut sans inconvénient se rapprocher autant qu'on le voudra des extrémités des voussoirs et même se confondre avec elles ; la résistance de la pierre étant infinie, la répartition des pressions peut être quelconque, elles peuvent même se trouver condensées en un seul point d'un voussoir.

Cherchons les positions extrêmes de la courbe des pressions. Elles sont représentée^ sur la figure i i , planch^^ II.

Celle qui a la plus grande flèche el la plus petite corde touche nécessairemei:! l'extrados à la clef et l'intrados près des naissances. A ce maximum de flèche correspond le minimum de poussée à la clef; en elfet le moment de résistance que la partie inférieure de la voûte oppose au renversement est constant, donc il en est de même du moment de la poussée à la clef par rapport à Taiète d" rotation; ce moment est le produit de la poussée par son bras de levier qui n'est autre que la flèche de la courbe des pressions. Lorsque cette flèche est maxima, la poussée est minima.

L'autre limite des courbes des pressions est celle qui possède le minimum (io flèche et le maximum d'ouverture ; elle touche l'intrados à la clef, el l'extrados aux naissances, et, pour les raisons développées ci-dessus, elle correspond au maximum de la poussée.

Entre ces deux courbes extrêmes s'en trouvent une infinité d'autres donnant pour la poussée des valeurs intermédiaires. L'une quelconque d'entre elles peut se réaliser sans que la stabilité de la construction soit compromise.

Dans le cas de matériaux infiniment résistants, on n'a donc ù adopter qu'unt* épaiseur suffisante pour que l'équation d'équilibre entre les quatre leviers mobiles, dont la voûte est censée composée, soit satisfaite. Alors, la courbe des pressions passe à l'extrados à la clef, à l'intrados au joint de rupture, et à Textrados aux naissances, elle est parfaitement déterminée, et il n'y en a qu'une qui puisse se réaliser.

D'après cela, veut-on déterminer l'épaisseur qu'il suffît de donner à une voûte en berceau, pour qu'elle soit simplement en équilibre, indépendament de la résistance des matériaux, on y arrivera facilement de la manière suivante :

On admettra que la courbe des pressions passe à l'extrados à la clef, et à l'extrados aux naissances des pieds-droits ; cela donne deux de ses points, ce qui suffit, comme nous savons, pour la construire entièrement. L'ayant conslruiie, non>: voyons si elle coupe l'intrados, dans ce cas, c'est que l'épaisseur de la voûlt. est trop faible, ou si elle reste toujours au delà de l'intrados; dans ce cas, c'est que l'épaisseur de la voûte est trop forte. Après quelques tâtonnements, nous arriverons à trouver pour la voûte une^paisseur telle que la courbe des pressions touche rintrados sans le couper. Nous aurons alors obtenu la forme d'équilibre.

La connaissance de cette forme constitue déjà un renseignement précieux.

2° Mais les matériaux infiniment résistants n'existent pas dans la nature, et il

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