CHAPITRE ni. — THÉORIE DES VOUTES

verticales, la résultante des pressions sur Tune des faces est tangente à la courbe des pressions, ce qui n'est pas exact lorsque Ton considère les plans de joint réels, c'est-ii-dire des faces inclinées sur la verticale.

M. Garvallo démontre que la courbe des pressions est au moins du second degré, qu'elle est indépendante de Textrados de la voûte lorsque celle-ci est surmontée de tympans en maçonnerie ; puis il cherche à établir l'équation de .cette courbe lorsque la poussée à la clef se rapproche de l'extrados ou de l'intrados et lorsque la courbe des pressions passe par le milieu des joints. S'appuyant sur les résultats des expériences de Boistard, qui s'appliquent aux formes le plus habituellement employées dans la pratique, l'auteur dit qu'il faut dans les voûtes de pont adopter pour la courbe des pressions l'équation qu'on obtient lorsqu'on suppose que la poussée à la clef s'approche de l'extrados, et en effet il place cette poussée à la clef au tiers du joint à partir de l'extrados. Avec celte condition, on peut dans une voûte donnée déterminer la courbe des pressions tout entière et les joints de rupture; M. Garvallo a fait les calculs pour divers exemples et a donné des tables destinées à abréger le travail.

Quoi qu'il en soit, les formules de M. Garvallo, fort habilement obtenues, ne nous paraissent point conduire à des résultats pratiques plus complets que ceux auxquels on arrive par la méthode de Méry, et celle-ci conserve l'avantage de son extrême simplicité.

mémoires de M. Tvon ¥iiiarce«B. — H. YiUarceau, astronome et géomètre de l'Observatoire de Paris, a repris la théorie des voûtes dans deux mémoires couronnés par l'Académie des sciences. Il traite la question par l'analyse mathématique, et son travail publié dans les mémoires des savants étrangers, n'est accessible qu'à peu de personnes.

Il se propose de modifier la forme d'intrados adoptée jusqu'ici, de manière à faire toujours passer la courbe des pressions par le centre de gravité des plans de joint : de la sorte, les pressions sont uniformément réparties, et on peut, à égalité de pression totale, réduire de beaucoup les sections, ou, inversement, à égalité de section, augmenter la pression totale, c'est-à-dire l'ouverture dés voûtes.

En effet, en supposant que la poussée à la clef passe au tiers du joint, cela revient à dire que la moitié de cette poussée est répartie sur le tiers du joint, ou encore, que le joint fout entier doit être assez large pour résister à une pression uniformément répartie égale au double de la poussée.

Avec la méthode de M. YiUarceau on peut donc adopter des épaisseurs à la clef moitié moindres que celles qu'on obtient avec la méthode de M. Méry, et par suite on arriverait à franchir avec des voûtes en pierre des portées considérables.

Malheureusement, on peut douter que la courbe des pressions garde dans la pratique la position si avantageuse que M. Yvon YiUarceau lui assigne par la théorie; il y a une infinité de courbes de pression possibles, et on ne sait trop laquelle se réalisera après le décinlrement.

Les idées de M. YiUarceau demanderaient donc à être justifiées par des expériences exécutées en s^rand.

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HËKOIUE U H. DE SAWT-GmLHES.

On trouve ant Annales des ponts et chaussées de 1859, un mémoire de M. l'ingénieur en chef de Saînt-Guilhena, qui a pour ol^jetde simplifier la méthode précédente et dont nous allons exposer le principe :

t)n se donne simplement le prcyffl de la voûte, et c*eat de ce profil seul que dépendent les conditions d'équilibre; on suppose la voûte formée d'une infinité de voussoirs infiniment minces etperpendiculairesà Tintrados, et on fait abstraction du frottement que produiraient les voussoirs en glissant les uns sur les autres et de la résistance au glissement que ferait naître l'adhérence des mortiers.

L'auteur se propose comme M. Tvon Villarceau de faire passer la courbe de pressions au centre de gravité des voussoirs, ce qui est très-avanta^geux puisqu cela suppose la pression totale uniformément répartie sur les plans de JoinL

If. Sairit-Guilhem admet en outre que la maçonnerie des reins et la surcharge de la voûte produisent sur Textrados le même effet qu'un liquide homogène affectant la même forme et ayant la même densité que le massif de la voûte ; ce qui revient à dire que chaque élément de Textrados éprouve une pression normale égale au poids d*une colonne de maçonnerie qui aurait pour base cet élément et pour hauteur la profondeur de lelément au-dessous de la surface du liquide.

Partant de ces hypothèses et des formules données par Navier pour féquilibre d*un assemblage de voussoirs dans les conditions indiquées, il calcule les coordonnées des points de la courbe d'intrados, et il donne duême des tables pour faciliter les calculs, qui, néanmoins, restent encore assez compliqués bien qu'ils soient beaucoup plus simples que ceux de M. Villarceau.

La méthode de M. de Saint-Guilhem ne s'est point propagée; la complication plus ou moins grande des formules ne serait pas une raison suffisante d'une pareille négligence si Ton pouvait avoir en ces formules une confiance absolue; mais les hypothèses du point de départ s'éloignent notablement de la vérité, et Wen que les résultats du calcul ne s'écartent pas trop de la pratique, on préfère en général la méthode graphique de Méry qui, elle aussi, domie des résultats en accord avec les dimensions usuelles adoptées par les comstructeurs.

Cependant, un ingénieur en chef des ponts et chaussées, M. Decomble, a applique la méthode de M. de Saint-Guilhem à un grand nombre de ponts 4b chemin de fer, et il en recommande l'emploi.

Le point de départ de cette méthode est, avons-nous dit, dans les formules de Navier, dont voici la démonstration :

formules de Navier. — Soit une demi-voûte ABMN, figure 11, planche IV, dont tous les joints des voussoirs sont normaux à la courbe d'intrados^ on se propose de déterminer l'action qu'une partie de la voûte MNm» exerce sur l'autre partie fnnÀB, en ne tenant compte ni de La cohésion des mortiers ni de la tendance au glissement, car nous savons que le glissement sur les joints ne se produit jamais dans les voûtes usuelles qui n'éprouvent que des mouvements de rotation autour des arêtes de certains voussoirs.

La voûte considérée est soumise en chaque point à une certaine surcharge dépendant de la forme des tympans et du couronnement ; cette surcharge est une force verticale bien déterminée, agissant à l'aplomb du joint (mw). Le caractère original de la théorie de Navier consiste à supposer au contraire que la surcharge

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GHÂPITRS ffi. — TiiÉOftlE I^ËS VOUTES. Il

agit sur la voûte comme un liquide c'est^*dire nonnalement aux parois en vase gui supporte ce prétendu liquide; ainsi la surcharge exercée sur le joint mn est une force F dirigée suivant ce joint et faisantJivecrhorizoïitaleAX l'angle y. Navierrapporte celte force à Tunité de longueur -et l'exprime en fonction de l'axe km ou s de l'intrados qui sépare les naissances du joint considéré ; il adopte pour axes de coordonnées l'horizontale AX€?l la verticale AT, -appelle a: et y les coordonnées du point m, p le rayon de courbure de Tinirados, au même point m, S la Ion* gueur de l'arc AM, moitié de l'intrados et T la valeur de la pression exercée perpendiculairemeDt âu goint mn par Tune des parties de la voûte lootttre l'autre. Remarquons en outre que la demi-voûte de drortje exerce sur celle 'de gaiKhe une poussée horizontale Q, et nous aurons tous Les éléments du caïkiiy^

Écrivons les équations d'équilibre entre : i<^ la réaction! exencée par Ja pArtîe de voûte inférieure sur la partie supérieure; 2» la poussée à la clef Q; 5® les forces normales, à l'intrados qui agissent de» en M ; ces farces F étant napporportées à l'arc s et chacune d'eHes étant appliquée à un élément ds de cet arc, iiur somme serait donnée par l'intégrale de F.rfs, piise de s à S.

Chacune de ces pressions élémentaires a deux composantes, l'une horizontale

F. ds. cos y et l'autre verticale F,ifc. siu y; mais, si on se rappelle que la

tangente à Fintrados, c'est-à-dire la perpendiculaire à mny fait avec les axes de

cuordonnées, c'est-à-dire avec l'horizontale et la verticale, des .angles àasù, les

dcc dti cosinus sont donnés par -t- et —, et si on remarque que F est dirigée suivant

la normale à l'intrados, on aura :

cos o = — ^ et sin « = -j- , ^ ds ^ as

relations qui nous serviront tout à l'heure.

Exprimons que la senwne des projections des forces qui sollicitent le massif MN mn est nulle sur les deux axes de coordonnées, il viendra :

T^^= rds.F siny et T^=Q-h H ds.Y. cos f.

Différentions ces deux équations par rapport à 5, elles deviennent :

(i) T.d. (g) +^^ = dsT«in^ W.^-f ^^ = dsFcosy.

dît doc

Multiplions la première par -^ ^^ ^^ seconde par -j-» et ajoutons les membre à

membre, nous aurons :