X.J I . ^ . 'dx

= Frf»|smy^H-cosy jj|,

maSs il existe les relations suivxoites :

73 PONTS EN HÂÇONNERIC*

et en diiférentiant cette dernière, on obtient :

de sorte que l'équation (1) devient tout simplement:

(5) iiT=0

Ainsi la pression normale T exercée sur un plan de joint quelconque est constante dans toute l'étendue de la voûte.

Les équations (1) voient disparaître le second terme de leur premier membre et se réduisent à

W Td.^^^F.ds,siRf et W.j?-F.if«.cos9».

Or les équations

dy ^t^ dx co89 = -^, dnf»=jj,

donnent par différentiation :

— sin^.df =— li.^ et cosfp.df=:d,^é

Donc les équations (4) peuvent s'écrire Tune et l'autre

JdfrrzYdi.

di est Tare d'intrados compris entre deux normales consécutives qui font entre

ds elles 1 angle df, par suite la limite du rapport -r- n'est autre que le rayon de

courbure p, et nous arrivons finalement à l'équation simple : (5) T = />F.

Certains ingénieurs se servent de cette formule pour déterminer la valeur de la poussée à la clef; nous en donnerons plus loin un exemple.

Pour le moment, nous nous arrêterons sur les considérations qu'inspirent à M. l'ingénieur Decomble les formules fondamentales de Navier :

(fl) T = constante (6) T = /d F

Ainsi, dit M. Decomble, en admettant l'hypothèse abstraite de Navier, on aurait :

« !• Une pression constante dans toute l'étendue de la couronne (devenue ainsi un solide d'égale résistance), à la seule condition de donner à Tintrados la forme déterminée par l'équation (b) et à la voûte une épaisseur uniforme;

2° Cette pression constante serait égale au produit de la force, appliquée normalement à la courbe d'intrados en un point quelconque, par le rayon de courbure de l'intrados en ce même point; de sorte que l'équilibre exige que la force et le rayon de courbure correspondants soient toiqours inversement proportionnels, i

Digiti

CDAPITRE ffl. — THÉORIE DES VOUTES. 75

Supposons le massif de maçonnerie arasé au plan horizontal passant au sommet de la clef, avec des tympans pleins; la surcharge est généralement constante par mètre courant ; de sorte qu'on peut la supposer limitée à un autre plan hoiizontal situé au-dessus du premier à une hauteur gui dépend de l'échelle, et qui s'obtiendra en exprimant la surcharge par une hauteur dt maçonnerie de même densité que celle des tympans. Désignons par (y) l'ordonnée d*un point de Tintrados au-dessous du plan horizontal supérieur ci-dessus défini ; cette ordonnée {y) mesurera la charge F transmise au point considéré, et nous admettons que cette charge agit normalement à l'intrados comme le ferait un liquide de même hauteur et de même densité.

Appelant p^ et y^ le rayon de courbure et l'ordonnée à la clef, le problème de la stabilité de la voûte sera résolue par les équations *

T s constante ss /»• y« =py,

ot si t est Tépaisseur constante de la voûte, R la pression maxima que l'on veut imposer aux maçonneries par mètre carré, on aura :

équation qui détermine l'épaisseur c de la voûte.

Pour connaître complètement celle-ci, il faut calculer la forme de l'intrados» c'est-à-dire les valeurs successives de j^ et de p par la formule

Exemple : on donne l'ouverture et la montée d'une voûte en anse de panier, et on demande d'en trouver fintrados et l'épaisseur,

La surcharge uniforme est connue, on se donne approximativement l'épaisseur à la clef, de sorte que l'on connaît 2/0. On fait une première hypothèse sur la valeur de p^, puis on calcule une série de valeurs de p par la formule (c), dans laquelle on donne à y uniî série de valeurs rapprochées et également espacées; sur des morceaux de papier dioptrique on trace des arcs de cercle ayant pour rayon les valeurs de p ainsi calculées; puis, après avoir décrit l'arc à la clef, dont le rayon de courbure est connu en direction et hypotliéliquement en vraie grandeur, on rend tangent à cet arc l'arc décrit de V(y) le plus voisin de y^, et ainsi de suite. Si, de la sorte, on obtenait une retombée verticale et une ouverture sensiblement égale à Touverture cherchée, le problème serait résolu. Dans le cas contraire, on procéderait à un nouveau tâtonnement.

On arrive ainsi assez vite à déterminer la forme de l'intrados, qui correspond à une certaine valeur p^ du rayon de courbure à la clef, et Ton détermine Tèpaisseur constante s de la voûte par la formule R e = p^ 2/o> ^^ sorte que le problème est entièrement résolu.

M. Decomble affirme s'être toujours bien trouvé de l'emploi de cette méthode simple : il va sans dire qu'une fois la forme d'intrados obtenue d'une manière approximative, on lui substitue une anse de panier ne possédant qu'un nombre réduit de centres.

La formule p?/ = constante nous montre que, théoriquement, la forme d'intrados ne peut jamais être un plein cintre; en effet, pour que p soit constant, il faut qu'y le soit, ce qui est impossible, puisque la différence entre l'ordonnée extrême et l'ordonnée à la clef est toujours égale à la montée.

Digiti

74 PQKTS £N MAÇONNERIE.

C'est seulement lorsque la voûte est très-surbaissée ou la surcharge infinie qu'on {>eut admettre pour ^ une valeur conslante et adopter un arc de cercle. baBS les autres «as, on obtient des anses ^e panier.

La formule 4 R=f. y apprend que jpour «une valeur constante dep eiy, b doit varier en raison inverse de R; il laut donc donner d*«auta»t moins d'épaisseur à la voûte que les matériaux sont plus résistants. Si on augmente e en conser- •vaat les mêmes matériaux, on diminue ie travail de&dits matériaux mais on n*aa^ente pas la st^^ilité de h voûte.

La forme de laidrados varie avec la charge, mais non avec la résistance des matériaux : celle-ci n'influe que sur ré|)aisseur de ia v^te.

Be ia formule py =4:oBsXaate il faut conclure -que f> diminue de la <def aux naissances, c'est-à-dire qu*oa a toujouns ia forme d'une anse 4e panier ou d'une calotte d'anse de panier.

Entre toutes les voûtes de même ofrvertwre et <te même charge, c'est le plein cintre qui exige le moins d'épaisseur, puisque c'est lui qui a le moindre rayon à la clef, c'est-à-dire qui donne pour le produit po2^o^si valeur maxima.

Toutes les arches de njôme rayon à la clef doivent recevoir, tout égal d'ailleurs, même épaisseur.

Tels sont les résultats que l'on tire de la théorie de Navier; on voit qu'ils n'ont rien que de logique; il est vrai «que leipoint de départ est hypothétique, mais les autres théories admettent aussi des hypothèses.

Celle de Navier parait cependant de prime abord plus difficilemeut admissible, et c'est sans doute la raison pour laquelle sa méthode ne s'est guère propagée.

Méthode simple pour calculer la poussée à la clef d'une voûte, — Dans celle théorie de Navier, le seul résultat qui soit vraiment reslé dans la pratique usuelle, c'est la formule très-simple qui permet de caloulei' la poussée à la clef d'une voûte quelconque.

La formule T=/)F se traduit en effet, en langage vulgaire, par l'énoncé suivant :

La poussée horizontale à la clef d'une voûte est mesurée par le produit du rayon de courbure au sommet de l'intrados et de la charge verticale transmise à l'intrados sur une longueur de un mètre au voisinage de la clef.

Ex»;raple : soit une voûte de 1 mètre d'épaisseur à la clef, avec une surcharge dont le poids représente une hautem* de maçonnerie de 1",50 ; cela fait une hauteur totale de 2™^50de maçonnerie au-dessus de l'intrados à la clef, et, pour un mètre courant de voûte, avec des matériaux dont la densité est de 2,500 kîlo^ammes, il en résulte une charge verticale

j?r=2500x 2,5=0Î50 kilogrammes.

D'autre part, le rayon R de l'intrados à la clef est de 15 mètrea,

La poussée horizontale <2 sera donnée par \

Q =p.R = 6250X 15 = 93750 kilogrammes.

La voûte, ayant un mètre d'épaisseur à la clef, présente par mètre coonuit 40,000 centimètre carrés; en admettant que 4a pression se répartisse uniformément, il en résulterait une force de

9^,57 par4:enliaziètre carré.

Taleur généralement admissible dans la pratique*