CHAPITRE ni. — THÉORIE DES VOUTES

se produire dans un massif, ce sont les lits de mortier ; leurs directions indiquent celles suivant lesquelles on doit s*assurer de la stabilité.

La courbe des pressions est, comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois, le lieu du point d'application de la résultante des pressions sur les plans de joints considérés.

Ainsi (figure 12, planche IV), soit une demi-voûte, sollicitée à à la clef par une

Iforce horizontale Q ; proposons-nous de déterminer la courbe des pressions. Au-

Idessus du joint sty les forces qui agissent sont le poids m appliqué au centre de

f gravité du massif et la force horizontale U ; leur résultante est rm, et le point m

appartient à la courbe des pressions.

Prenons pour axes de coordonnées les droits OX et OY ; appelons x, y les coordonnées du point m ; Ç l'abscisse du centre de gravité, c'est-à-dire la longueur Or; p le poids du massif au-dessus du joint considéré, ou mieux la résultante de toutes les forces verticales qui agissent sur le massif;

L'inclinaison du coefficient angulaire de la résultante rm est ^.

Cette résultante passe par les points dont les abscisses sont x et Ç et les ordonnées y et zéro, elle a donc pour équation ;

D*un autre côté, l'équation de la ligne droite qui représente le joint si, sera de la forme

Le mode de génération de cette droite est connu ; elle ne dépend que d*un coefficient indéterminé, son inclinaison ; c'est ce qu'il est facile de vérifier sur toutes les courbes usuelles. De même, le poids du massif supérieur au joint et Tabscisse de son centre de gravité sont des fonctions de l'inclinaison (a) de la ligne du joint. Ainsi, l'équation (J) ne renferme en réalité qu'une indéterminée a; si on élimine a entre les équations (1) et (2), on obtiendra une équation en x et y, qui sera vérifiée par les coordonnées du point m, puisque ce point m résulte de l'intersection des deux droites (1) et (2) ; cette èjualion représentera donc la couibe des pressions.

En différentiant l'équation (1), dans laquelle il suppose que p et Ç sont repré>

sentes par des fonctions de x et non plus de a, l'auteur trouve l'expression -^

c'est-à-dire le coefficient angulaire de la tangente à la courbe des pressions, et il démontre que cette tangente coînt^ide avec la résultante des pressions passant au même point, pourvu que les joints soient verticaux. Alors, la courbe des pressions ressemble absolument à unechaînetie renversée, c'est-à-dire à la figure que prend un cordage pesant fixé à ses deux extrémités.

Il faut bien remarquer <]ne la couibe des pressions est une conception géométrique; elle dépend essenliellement. tontes choses égales d'ailleurs, du système de joints adopté. Lorsque celui-ci ch.<nj;e, les centres de gravité et les poids des massifs superposés à chaque iis>i>e changent aussi ; il en est de même de la résultante et de la courbe des pressions. Mais, dans la pratique des voûtes, la direction des joints est toujours normale à l'intrados, et la construction géométrique,

Digiti

7X PŒfTS EN KAÇONNERIE.

que nous avons dëjiâ développée plusieurs fois, ne donne q«*une courbe de pression, lorsqu'on connaît en grandeur et en posilion la poussée à la clef.

Connaissant les forces extérieures qui a<^issent sur un massif, en les composant avec le poids des assisses successives, on pourra toujours, par une construction géométrique simple, tracer la courbe des pressions statiques.

Si cette courbe ne sort pas du massif, e*est qu'il es» en équilibre en tant que raoriolitbe, et il ne reste plus q^*k examiner sur chaque assise si la pression totale n*est pas susceptible de déterminer Técraseraent des matériaux.

Si la courbe sort du massif, l'éffuilibre est impossible, il y aura renversement du massif; il faut donc en changer la forme, et ht courbe des pressions elle-même indique bien nettement les parties faibles et montre d'une manière suffisante en quels points il convient d'ajouter ou de retrancher de la matière. Il est à- remorquer que, lorsque la courbe ée^ pressiotis sort do massif^ elile ne représente plus rien, au point de vue des résultantes des pressions, puisque ceUes-ci ne peuîvent sortir des J!oints ; elle n'a plus de valeur que comme construction géométrique indiquant dans quel sens la déformation du massif va se produire.

Stabilité de$ voûtes'. — La première condition de la stabilité des; votâtes, c'est d'être en équilibre statique; c'est donc le premier pttst à lechercher et c't^st celui-là qu'ont traité MM. Lamé et Clapeyron. La première chose à faire lorsqu'on veut construire une voûte de dimensions données, c'est de voir si elle est en équilibre ; puis, on se rendra compte de l'intensité des pressions sur les joints et on reconnaîtra si l'écrasement n'est pas à craindre eu égard à la résistance propre des nratériatn mis en œuvre.

Une voûte se construit sur un cintre dont la réaction en chaque pomt anoufe Teffet de la pesanteur ; ainsi, il n'y a pas de poussée à la clef dans une voûte sur cintre. Lors du décintrement, il faut qu'il se développe des réactions moléculaires en remplacement des réactions du cintre, et c'est alors qu'apparaît h poussée à la clef, qui va sans cesse en augmentant à mesure que le cintre descend, depuis ^éro jusqu'à la valeur nécessaire pour que le massif soft en équilibre. Â cause de la force vive acquise par la voûte dans sa chute, elle descend au-dessous de la position d''équilibre, mais elle ne tarde pas à s'y fixer après quelques oscillations. De même, la poussée à la clef peut dépasser plus ou moins l'intensité nécessaire à l'équilibre, mais, après quelques oscillations au delà et en deçà de cette intensité, elle ne tarde pas à s'y fixer.

En ayant recours à un décintrement très-lent, on arrivera presque à anéantir les oscillations et on sera certain que la poussée à la clef ne dépassera pas la valeur nécessaire k l'équilibre statiqne.

Pour faire saisir ce qpài se passe lors du décintrement,. 11. Hupuit donne un exemple simple que nous lui empruntons :

Soit une voûte (figwe i, planche VF)' comprise enifre deux lignes droites parallèles AC, BD ; lorsque cette voûte est sur cintre, les deux parties accolées suivant la clef A6 n'exercent aucune poussée l'une sur Fautre; la composanite du poids de la voûte, normale à BD, est supportée par le eintre, et la composante parallèle est transmise à la base CD.

Dès que le cintre descend', !a d^mi'-voiSte en fait autant, tout son poidscst transmis au sol' en C&, et la demi-voûfe dedroite exerce s«r celte de gauche un« certaine poussée Q; qui est horizontale à cause de la symétrie, et qui est appliquée en un point m dti joint de clef AB.

Le centre de gravité de la voûte est en g; prolongeons^en 1» verticale jusqu'à la rencontre de l'horizontale Q; prenons à* une êekeUe doanée la tongueur g^q égale

CHAI'ITRE m. — THÉORIE DES VOUTES. 7îv

à Q et la longueur g'p égale au poids P de la deraî-TOÛte, et construisons leur résultante ^p' par le parallélogramme des foi ces. Celle résultante a son point d'application enR sur la naissance CD de la dt'mi-voûte, et le pointR appartient à la courbe des pressions. De même, si l'on veut le point delà courbe correspondant au joint to, on composera k poids dti massif £5 AB avec là force Q, et la résultante donnera le point t. On construira donc facilement la courbe des pressions m^R. •

Pour que la voûte soit en équilibre statique sur le plan C9, c-est-â-dire pour qu'elle ne tende pas à être renversée, il faut que le point R soit compris entre D et C; or l'équilibre entre les trois forces P, Q et g'p' s'exprime en disant que la somme de leurs moments par rapport au point R est nulle, ce qui se traduit par rëquatibn :

Q.«iO«P.RG, d'où Q=^

mais mO peut varier de AO à BO, et RG peut varier de D6 à G6 ; doncla valeur de Qest comprise enlira