CHAPITRE m. — THÉORIE DES VOUTES

Il y a donc indétermination, et, cependant, il est bien évident que dans chaque cas il n'y a qu'une courbe dépression qui se réalise.

Nous avons vu comment Méry avait fait cesser Tindétermination, en supposant que la courbe des pressions passe à la clef au tiers du joint, à partir de l'extrados, et au joint de rupture au tiers, à partir de l'intrados. C'est une pure hypothèse que rien ne vérifie.

Pour déterminer la courbe des pressions, il faut voir ce qui se passe au décintrement: nous montrerons, dit H. Dupuit, que, dans ce qui se passe au décin* trament, il y a quelque chose de certain, de fixe, qui ne dépend que du profil de la voûte, puis quelque chose d'incertain qui dépend de la nature des matériaux et du mode de construction.

Etudions la voûte de la figure 2, planche VI; cette voûte a pour intrados BD, pour extrados AU, et pour pied-droit DTSU.

Prenons-la au moment où elle repose sur le cintre, il n'y a pas de poussée à la clef, et la courbe des pressions est représentée par la ligne brisée IFPZ; celte courbe est le lieu des points de rencontre des verticales des centres de gravité des massifs successifs avec les plans de joint qui les limitent: la construction en est nettement indiquée par le point?.

Dès qu'on aura à la clef une poussée si petite qu'elle soit, le parallélogramme des forces interviendra pour fournir les résultantes; celles-ci s'écarteront de plus en plus de la verticale, et tous les points tels que F remonteront. Ainsi, toutes les courbes de pression susceptibles de se produire à mesure que la poussée à la clef augmente, sont entièrement situeras au-dessus de la courbe IFPZ, limite inférieure bien facile à construire.

Cette courbe limite va no\xs curnir un précieux renseignement, à savoir la position du point de Tintrados autour duquel la rotation de la partie supérieure de la voûte va se produire pendanl le décintrement..

Prenons comme axes de coordonnées la verticale AO et l'horizontale menée par le point A; appelons q la poussée à la clef qui, appliquée en A, établirait l'équilibre du massif par rapport à un point quelconque x, y de i'mtrados ; soitp le poids du massif superposé au joint qui passe par le point d'intrados, et x' l'abscisse de son centre de gravité, c'est-à-dire la distance qui sépare Taxe de la voûte AO de la verticale du centre de gravité ; le théorème des moments donne pour l'équilibre :

Si l'on détermine la valeur de q pour chaque plan de joint, celui pour lequel la valeur de q sera maxima, déterminera le point de l'intrados autour duquel la rotation se produira ; en effet, c'est autour de ce point que la rotation est le plus facile, puisque, pour empêcher cette rotation, il faut développer le plus grand effort de poussée.

La détermination du point de rotation revient donc à celle du maximum de

l'expression : ^'' ~^ — •^ Appelons d la densité de la maçonnerie, et l la dimension horizontale moyenne de la voûte, c'est-à-dire la moyenne des longueurs horizontales interceptées entre l'extrados etTintrados, depuis le sommet jusqu'au joint dont Tordonnée à l'intrados est y; le poids p du massif superposé au joint sera dly, et l'expression de (q) deviendra dl (x — af). Dans les voûtes ordinaires, on peut admettre que la dimension t est peu varia-

ble, ce fui.8*écfiilepeu de la vérité, si on considère une série de joints située à une certaine distance delà clef. Le maximum de la poussée q correspondra donc auniaximum de (a: — j;'), c'est-à-dire au point de Tintrados qui est le plus éloigné jde la verticale passant par lecentre de gravité du massif superposé à ce point.

Ce point sera très-facile à déterminer lorsqu'on aura tracé, comme on Ta fat sur la figure 2, ta courbe IFPZ, lieu des points de rencontre des verticales des jceoatres de gravité avec les joints correspondants ; le point de rotation sera à très peu près le point de Tintrados le plus éloigné de la courbe précédente, c'est-àdire, dans le .cas^qui nous occupe, le point D

Àinsi^ lors du ^iécintrement, toute la partie supérieure de notre voûte va tourner autour du point D ; au bout d'un moment, par cette rotation, la droite AB serait venuie virtuellement en À'B', chacun de ses points étant sollicité par une accélération, ou, ce qui est la même chose^ par une force proportîionnelle à son déplacement M' .ou BB^ en réalité, ce déplacement virtuel ne se produit pas, {larce que la seconde demi-voûte s*y oppose, mais les forces n'en existen^pas n¥)ins, et, conuae elles sont proportionnelles aux déplacements virtuels tels que ik', leur résultante passe par le centre de gravité (â) du trapèze ABA'B' ; cette résultante est horizontale.

Cherchons la courbe des pressions dans la position statique, c'est-à-dire lorsque, la poussée à la clef a atteint la valeur Q suffisaote pour empêcher la voûte de tourner autour du point D, les points ci et D appartiennent à cette courbe des pressions dbR, qui est facile à construire, comme nous l'avons vu bien des fois.

La courbe dDK est la limite supérieure des courbes de pression compatibles av^cla iorme de la voûte. Lorsque le décintrement va commencer, la poussée à la clef est nulle, et la courbe des pressions est en IFPZ ; si Ton procède à un décintrement lent, le sommet de la voûte s'abaisse insensiblement, la poussée à la clef 9 augmente jusqu'à ce qu'elle ait atteint la valeur Q nécessaire â l'équilibre; à ce moment, puisqu*il y a équilibre, et que la voûte n'a pas de vitesse acquise, elle ne descend pas davantage et se sépare du cintre, la courbe des pressions est venue en dûR.

Bans rjntervalle, comme les valeurs de q sont inférieures à Q, les résultantes sur les joints successifs sont moins éloignées de la verticale qu'elles ne le sont lorsque la limite est atteinte ; donc, les courbes des pressions pendant le mouvement sont toutes comprises entre dDK et IFPZ ; l'une de ces courbes est par exemple dsTj elle montre juieux qm la voourbe limite inférieure la position du point de rotation D.

Par suite, si Ton veut construire ce point de rotation, on peut se dispenser de la courbe limibteinférieure^ et construire une courbe correspondant â une valeur arbitraire q de la poussée à la clef; on obtiendra ainsi la courbe dsr^ pourvu qu'on n'ait pas choisi une valeur de q supérieure à la poussée d'équilibre Q, auquel cas on serait averti de son erreur par ce fait que la courhe des pressions serait tout âutière au-dessus de l'intrados.

Ainsi, dans un décintrement lent, la courbe dynamise des pressions s'élève d'une manière continue au-dessus de la courbe s4iatique4es pressions con(te$pondant à la voûte sur cintre, et son mouvement s'arrête lorsqu'elle a atteint la courbe statique des pressions correspondant à la voûte libre.

Avec un décintrement brusque, les résultats ne seraieM plus les mêmes ; si ta poussée à la clef dépasse la valeur d'équilibre Q, la courbe statique des pressions se tnouie^videnmiient tout entière en dLR' au-dessus de la courbe d'équi-

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