CHAPITRE m -^ HÊXSm WS TOUTES. «f

-libre; quant à la conrhe léynniqse des |»r««Mii8, e^ke pogse Atn^anni et toio^ ment par le point de rotation D, mais entre d et D, ellefi*éiève .au-dessiu de la «ODrbe d'éifuilibite leC » nipproche ide l'exitrados; die augBienAe doQC les {tressions à Textrados, et peut anÔBie développer un second ^wxA de rotation ai elle «rriv« i louciier cet eitrados. Dans te décintrement hruaque, le joint CD iead i VofUirrir davantage ià l'extrados, parce que Tamplitude de la rotation efit plus oon6idérai>le. iLa rotation virtaieUe, e-est-à-dire la chute de la voûte, 6*acrôterat lorsque le travail moléovlaive dû à la compression des nalériauK aura compensé fle travail dû à la pesanteur; la réaction des matériaux comprimés détenoninera «n mouveimeni en sens inveese; la poussée à la clef vevîendra en deçà de la valeur d'équilibre Q, pour passer au delà une seconde fois, et eofio^ «prés «n nombre 4*oscillaIions d'autant plus 'Considérable que ie dèdsitpememt se sera plus ap- .proche de l'instantasiéiié, lacraAedes prefla»€dBs.se fixera dans la position de l'équilibre statique.

Mais on voit par ce qui précède combien le décinfrement brusque est dangereux ; il a pour elfet d'augmenter les pressions à Tentrados, il peut donc déterminer un écTBfi^nent, et môme créer un point de iHKtalion à i'exlrado&.

n n est pas inutile de faire remarquer la différence capitale entriO la théorie de Bupuit et celle de Méry; ce dernier place la couibe des preasions tout entière av4elà de Tintrados, avec lequel elle n'a auciin<)ontacr.

A £sanitnon&, dit Dupuit, les loonaéquenoes d'une courbe dLR% ékdgnée de -l'intrados en tous ses points ; si nous la comparons à la canrbe dont nous avona démontré Texistence, >et qui passe par le point D, nous reconnaîtrons qu'elle •mppose une plus grande poussée à la clef. Or, iquel que soit ie mode de déformation de la ¥QÛte, on est bien (obligé d'admeiire qu'avant le déciniremcffit il n'y a pas de poussée, et que, pendant cette opération, celte force passe par tontes les valeurs inférieures à celle «qu'elle fiait par atteindre, d'où il suit qu avant d'arriver à l'intensité >qui résulte de la courbe intérieure de pression, elle a passé par celle qui suffit à l'équilibre. Or, si le dècintrement s'est opéré lentement, il est évident que tout flnonvement a dû cesser en oe inomeol, eft que la courbe n'a pu s^avaneer 4ans i'inlériour ; que si le déctntrement s'est opéré brusquement, la poussée a pu dépasser cette limite sons l'inlloeace de la vitesse acquise par la •voûte, mais réagissant bientôt contre la vioûte, «elle .a dû .diminuer d'intensité, et, après quelques oscillations, s'arrêter à laibroe qui suffit pourTéquilifare^

« La poussée, en effet, n'est pas une force quelconque, mais une réaction qui ne peut dépasser faction. Sans doute, si l'on im&^iae qu'à la clef et au point d on applique une force quelconque, i'èquikbre de la voûte sera compatible avec des intensités de cette force, comprises entre deui limites faciles à déterminer; mais cette intensité dans une voûte n'est pas quelconque, elle n'est ^pue TefTet de la réaction des deux demi-voûtes qui tendent à tomber l'une oontre Tautre. Demander quelle force ii faut appliquer au point d pour sootmir la demi- voûte, «'est un problème indéterminé ; mais demander quelle compres8Îon se produit au point d, centre de contact des deux demi-voûtes qui ^s'appuient l'une sur i'autrif , c'est un ppoblèine iout différent et qui n'est susceptible que d'une sohitien. »

Dans la 'théorie de Dupuit, la «ourbe des pressions est-i-eUe complètement .déterminée? Non, pas encore, mais l'indétermination se trouve oonsidôrablement réduite, puisqu'on sait que la courbe passe eu un point de l'intrados facile à dé- ::erminer, comme nous !le verrons tout à l'heure. Ce qui reste indéterminé, .c'est •le point d'appiication de la poussée à la clef, let 'encore peut-on recoanaHi» qu!il •ne peut varier «que dans un faible espace. Du reste, il ^st impossible do luiaasi*

gi PORTS EN MAQONKERIE«

gner sa place d'une manière absolue, car cette place dépend beaucoup de la manière dont la voûte est construite.

En effet, supposez que la culée ne soit pas immobile, ou que les matériaux soient très-compressibles au point de rotation D ; il en résultera pour ce point un mouvement de recul horizontal, et par suite diminution de la pression en B à l'intrados de la clef, et augmentation de la pression à l'exlrados en Â. Ainsi le recul du point D a pour effet de reporter vers lextrados la résultante des pressions à la clef; s'il arrive que la pression en B devienne nulle, la poussée à la clef passe au tiers du joint, à partir de l'extrados; si l'ouverture en B augmente, il peut même arriver que toute la poussée soit reportée sur l'arête A, qui sera susceptible de s'épaufrer.

Le recul du point D existe toujours, soit par compression, soit par déplacement réel de la culée, la compression tient à la nature même des matériaux; quant au déplacement de la culée, il tient à l'insuffisance des dimensions et on peut toujours s'y opposer.

M. Dupuit cherche ensuite à calculer la position du centre d de poussée à la clef, et il montre que cette position dépend de l'amplitude de la rotation. La rotation existe toujours, petite ou grande, et le centre de poussée à la clef est toujours au-dessus de la moitié du joint ; d'un autre côté, il ne s'en va jamais jusqu'à Taréte d'extrados, car les mortiers et même les pierres sont compressÛiles et les pressions se répartissent toujours sur une zone d une certaine étendue, de sorte qu'en plaçant le centre de poussée vers le tiers de la clef à partir de l'extrados, on ne risque pas de commettre une grande erreur.

Au point de rupture D, il n'en est pas absolument de même ; là, la pression s'accumulerait certainement à l'extrados D si les matériaux étaient incompressibles; mais, vu la compressibilité inévitable des matériaux, la pression se répartit sur une zone plus ou moins considérable. Quoi qu'il en soit, on ne s'écartera pas beaucoup de la vérité en plaçant le centre des pressions sur le joint de rupture en D.

« Par une construction très-soignée, on peut empêcher la courbe des pressions de trop s'élever vers l'extrados à la clef, mais on ne peut pas l'empêcher de s'approcher de l'intrados au joint de rupture. »

C'est dune en ce joint qu'il faut placer les matériaux les plus résistants. On peut s'étonner de ce que les voussoirs ne s'écrasent pas sous une forte pression locale, mais on s'expliquera les choses si on réfléchit que les expériences sur l'écrasement ne s'appliquent qu'à de petits prismes et non à de grandes masses, et que la résistance ne varie pas proporiionneliement aux dimensions. Nous avons eu déjà l'occasion de faire cette remarque.

La largeur du joint de rupture n'influe pas par elle-même sur la résistance, puisque le joint s'ouvre sur une grande partie de sa largeur, laquelle partie n* est soumise à aucun effort; seulement la lar^^eur des voussoirs au joint de rupture a son influence en ce sens qu'elle permet à la pression localisée d'agir sur une pierre de plus grandes dimensions et par suite plus résistante.

Nous venons de rechercher la stabilité d'une voûte incomplète ; on voit que le joint de rupture y est bien nettement accusé, il se trouve aux naissances. Dans une voûte complète, plein cintre ou anse de panier, le joint de rupture n'en < existe pas moins, mais il ne se présente pas aussi facilement aux yeux ; sur ce joint, la courbe des pressions non-èeulement vient toucher l'intrados, mais elle lui est tangente; en effet, dans une voûte complète ordinaire, la courbé des pres- ' sions est continue et ne présente aucun rebroussement ; par suite, à sa rencon-

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CUAPITRE m. — THÉORIE DES VOUTES. 85

tre avec l'intrados, elle lui est tangente ou elle le coupe ; si elle le coupait, Téquilibre ne saurait exister, puisque la courbe des pressions sortirait du massif; donc elle lui est tangente.

Nous apprendrons tout à l'heure à déterminer le joint de rupture d'une voûle j quelconque. Pour le moment, voici à quoi nous avons ramené la recherche de la stabilité d'une voûte en plein cintre ou surbaissée (nous nous occuperons plus tard des voûtes surhaussées) : ;

Ayant trouvé le joint de rupture, 1® si la voûte est complète, nous mènerons une tangente à l'intrados en ce point jusqu'à la rencontre avec la verticale du \ centre de gravité du massif superposé ; l'horizontale passant par le point de ren- l contre sera la direction de la poussée à la clef, le poids du massif décomposé par le parallélogramme des forces donne la poussée à la clef, qui permet de construire la courbe des pressions tout entière ; la voûte sera stable si cette courbe n'en sort en aucun point, et si elle ne s'approche pas trop de l'extrados en certains points ; 2^ si la voûte est incomplète, et que les naissances de l'intrados soient au-dessus du joint de rupture de la voûte complétée par la pensée, le joint de rupture est aux naissances mêmes, mais la courbe des pressions n'est plus tangente à l'intrados, et, pour la déterminer, il faudra se donner la direction de la poussée à la clef qu'on pourra placer au tiers de la clef à partir de l'extrados; la courbe des pressions ne devra sortir de la voûte en aucun point, ni trop s'approcher de l'extrados. *

On voit combien cette méthode est simple et même supérieure sur ce point à celle de Méry.

Détermination du joint de rupture, — La détermination du joint de rupture dans une voûte complète se fait, comme nous l'avons indiqué, en analysant le mémoire de Clapeyron :

Le joint de rupture est tel que la tangente à l'intrados en ce joint rencontre la verticale du centre de gravité du massif superposé au même point où cette vers ticale est rencontrée par la poussée à la clef.

Au moyen d'un essai graphique, on arrivera donc très-rapidement à fixer avec une approximation suffisante la position du joint de rupture. (Voir la page 59 et la figure 4 de la planche IV).

Ce procédé graphique est applicable à toutes espèces de voûtes, quelle que soit leur forme.

Il faudra donc y recourir lorsqu'on rencontrera une forme inusitée dans la pratique. Mais pour les intrados ordinaires, M. Dupuit s'est proposé de fixer à priori par le calcul la position du joint de rupture :

Il prend l'équation de la courbe des pressions et celle de l'intrados, rapportées

aux mêmes axes ; de chacune de ces équations il tire les dérivées ^, c'est-à-dire

la fonction d'y et d'x qui donne les coefficients angulaires des tangentes successives à ces courbes ; il exprime que la courbe des pressions est tangente à l'intrados, et pour cela, il égale les deux valeurs de t|; il en résulte une équation

en y et ic, qui, combinée avec celle de l'intrados, fournit les deux coordonnées du joint de rupture. Sans entrer dans le détail des calculs, nous n'en donnerons que les résultats : !• L'ordonnée du joint de rupture, c'est-à-dire sa hauteur au-dessus des naissances dans une voûte complète, est indépendante de l'ouverture de la voûte ; autrement dit, le joint de rupture est à la même hauteur pour toutes les voûtes

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86 PONTS £1? lÂÇONNEME.

de mdme montée , plein cintre , anse de panier ou ellipse quelconques ;

2* Dans les voûtes complètes, le Joint de rupture se trouve sensiblement aa milieu de la montée; avec les formes usuelles, sa variation de position est assez faible pour qu'il n'y ait aucun inconvénient pratique à le placer toujours au milieu de la montée ;

5^ En surchargeant suffisamment une voûte, on peut toujours placer le joint I l'e rupture où Ton veut; en effet, menez la tangente à l'intrados au joint de rupture que vous voulez déterminer, prolongez-la jusqu'à sa rencontre avec la poussée à la clef, et surchargez la voûte de telle sorte que le centre de gravité de toute la masse passe précisément â ce point de rencontre, vous aurez obtenu le ^ résultat voulu. Hais, dans la pratique, on n'opère pas ainsi ; il faut considérer les voûtes comme on Yes ùii d'ordinaire» et alors le joint de rupture se place au milieu de la montée ;

4^ Dans les voûtes en arc de cercle, le joint de rupture est aux naissances^ tant que !a montée n'est pas égale à la moitié du rayon, c^ost-à-dire tant que Tangle au centre de l'arc d'intrados est inférieur à 120*. Lorsque la montée dépasse la moitié du rayon, ce qui ne se présente guère, il faut compléter la voûte et placer le joint de rupture au milieu de la montée de la voûte complète.

Résumé. — Ainsi, Ton voit que, dans la méthode de Dupuit, le problème de 1k stabilité des voûtes se résout par un procédé graphique d'une extrême simplicité.

i^ Si la voûte est complète, on mène la tangente â Tintrados au milieu de la montée, on cherche son intersection avec la verticale du centre de gravité du massif superposé , par cette intersection on mène une horizontale qui donne la direction de la poussée â la clei ; décomposant le poids par le parallélogramme des forces on a la valeur de la poussée et on peut construire autant de points que l'on veut de la courbé des pressions. Le plus souvent on la tracera à la main avec une approximation suffîsante, rien qu'en se servant de ses deux tangentes : la poussée à la clef et la tangente à l'intrados au joint de rupture ;

2*^ Si la voûte est incomplète, on place le joint de rupture aux naissances, et la courbe des pressions y passe encore à l'intrados, mais elle n'est phrs tangente. On place la poussée à la clef au tiers du joint à partir de l'extrados ; on a donc deux points de la courbe des pressions ce qui suffit â la déterminer.

Telle est la méthode nouvelle proposée par Dupuit; nous avons regretté de ne pouvoir lui donner plus de développements ; elle a Flmmense avantage de mettre en lumière ce qui se passe dans la pratique de la construction, et notamment lors du décintrement ; elle donne de précieux renseignements sur la manière dont il faut procéder au décintrement et dont il faut disposer les maçonneriies à ladef et au joint de rupture;

Sans doute, elle n'est pas absolument inattaquable et renferme encore des hypothèses, mais dans l'ignorance où nous sommes des phénomènes moléculaires, il est impossible de créer une théorie des massib de maçonnerie sans recourir K quelques hypothèse»; eelles de Dupuit sont paifaitemeot plausibles ;. sea dèâac.* tions sont basées sur des raisonnements simples et sur une observation attentive des phénomènes.

Dans sa théorie des voûtes, il a su, comme dans ses autres fravnux, aOief à* l'expérience le raisonnement et le cafeuf, et noti9 pensons que sa théorie* est réellement la phis conforme aux faits pnrtiques, h f^us simple et h seule qo^il convienne d'^appliqucr aux votte» warueflesi

II faut la substituer ^ cefle <f e Héry, qui jouit etmet de la* fafetxr générale.

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