CHAPITRE ni. — THÉORIE DES -VOUTES. Sff

Épaisseur à la clef, — La méthode que nous Tenons (f exposer pernwt Men de vérifier la stabilité d'une voûte donnée, mais le kcteur a sans doute remarqué qu'îT n'était point parlé de Tépaisseur à donner à la clef (f une vo^te don! Tinfrados est connu ; ce problème de la recherche de Fépaisseur à la def w^est pas susceptible d'une solution précise, on le résout en général par les doratées de 1 ''expérience, et c'est ce qu'il y a de mieux à faire : nous le reprendrons plus loin,

Arefae d'essai très-sarbalssfe des «arriéres de Soiippes. — En étudiant le

projet du pont sur la Seine à Paris, destiné à réunir la rue du Louvre avec l€ quai Conti et la rue de Rennes prolongée, on reconnut qu'on était amené par les nécessités de la navigalion et de la circulation à adbpter des arches ayant au moins 58 métrés d'ouverture avec 2"»,00 de flèche auf pins. Bfe- pareilles arcbear n^onl pas été exécutées même en fer, et, comme on voulait le ponf en maçonnerie, on pouvait avoir des doutes sérieux sur la stabilité.

C'est alors que le préfet de la Seine autorisa les ingénieurs du service municipal, MM. Féline Romany et Vandrey â exécuter dans les carrières de Souppesune arche d'essai Irès-surbaissèe. Les expériences, entreprises d*abord par M. Tawdrey, ont été poursuivies par M. l'ingénieur de Lagrené, qui en a rapporté les résultats dans une note publiée aux Annales des ponts et chaussées de iSS9,

Voici les dimensions de cette arche rf'essai, représentée par la ^^re 5 &eh planche VI : Tintrados est un arc de cercle de 37",886 de corde, 2«»,i25 de flèche; largeur perpendiculaire aux têtes, 3", 50. La vente est tout entière en pferres de faille, à joints parfaitement dressés, posées et maçonnées avec ïe pïus grand soin en mortier de ciment ; elle a une épaisseur constante de i"*,iO> sujp lea tètes ; mais le corps de la voûte n'a que O'",80à la cîef et 1™,Î0 aux naissances. La culée, de même largeur que la voûte, a f S^jlO d'épaisseur k la base, rèd!uite à 14«»,86 au sommet ; son cube est de 428 mètres ; eHe est en maçonnerie de moellons hourdée avec mortier composé de 480' kilogrammes de Portlandpou» \ mètre cube de sable. On a évité dans les culées d'avoir des joints hori^onlaux continus ; au contraire, on a placé de place en place dfe grosses pierres droites, afin de s'opposer au glissement.

Il s'agit de la culée de gauche; celle de droite est constituée pat le rocher même.

Le mortier employé à la pose des voussoir» étaft composé de 600 kilogrammes de ciment de Portfend porur 0°*,"8O de sabte tamise. L'épaisseur des joints a été réglée â 0^,012'; ceux des voiAssoirs de naissance ont ètè fichés tes derniers et laissés vides m moyen de régîtes en sapin sur tme hauteur de 0»,0S à partir de la courbe d*intrados, afin d'éviter toute pression sur l'arête.

Afin d'arriver à un durcissement complet des mortiers, Farche a été laissée quatre mois sur cintre.

Puis on a décintrë avec des bottes k saMe, en produisanl un affaissemeni des plus lents. On avait fixé devant chaque tête don^e règles verficates indépendantes de la voûte et du cintre ; la Toûle et ïe cinfrc portaient à chaque têfte chacun un» règle horizontale ; on pouvait donc apprécier très-exactement les m^u-vemeHls en repérant les règles horîîontafes par rapport afux régîtes verticales.

Le sable des boîtes s'écoulant avec une grande lenteur, on aperçut le jo«r M bout dTune heure entre la ;douelle et fe pïateïagc, eî auf hrmt dfe d«ux heure» le , détachement de la vo^te et du cintre était eomplet* f*» L'abaissement k la clef a été àe 0*,M« sur une tête eî 0", W4 sw Fawtre, l 2* A la culée, le joint dte* naissance à rextradk» ne s'est pw euvefrl de j* dfe aiîHimètre ; de l'atitre côté, m rocher, Fcraverture a été însaisibte ;

89 PONTS EN HAÇONNERIE*

3* Aucun mouYement de recul ne s'est produit dans la culée, sur laquelle on 1 avait eu soin de tracer des lignes verticales.

! On voit là toute Tinfluence qu'une culée de masse infinie a sur le mouvement de rotation de la voûte autour de son point de rupture.

La voûte décintrée, on la chargea avec de la maçonnerie ordinaire, de manière à produire la pression de la superstructure, plus une surcharge d'environ 650 kilogrammes par mètre carré, bien supérieure à celle que la circulation est susceptible de produire ; le poids total était de 4,207 kilogrammes par mètre carré pour les têtes et de 2,192 kilogrammes pour le corps de la voûte.

La charge totale imposée à la voûte produisit un abaissement permanent de 0»,008 sur une tête et 0»,009 sur l'autre.

Dans sa note déjà citée, H. de Lagrené donne les résultats des expériences subséquentes :

Pour apprécier les moindres mouvements, on a eu recours à l'appareil en usage pour la mesure de la flèche des poutres métalliques ; « sur une règle en sapin fixée verticalement en terre, on a placé une aiguille en fer divisée par son axe de rotation dans le rapport de 1 à 10; rextrémité du grand bras parcourt un cadran divisé en milimètres, tandis que l'extrémité du peiit bras obéit aux mouvements d'une tige horizontale en fer scellée dans la clef de la voûte. Un mouvement vertical d'un milimètre, par exemple, à la clef est ainsi traduit par un écart d'un centimètre à l'extrémité de l'aiguille. »

1" Le relèvement et l'abaissement de la clef suivent très-régulièrement les variations de la température ; seulement, les indications d'un thermomètre extérieur ne suffisent pas pour connaître la température de la voûte, car le massif de celle-ci ne s'échauffe que très-lentement. La température montant de li<» (14 mars) à 23® (20 juin), le relèvement a été supérieur à l'abaissement produit par une surcharge de 1,000 kilogrammes par mètre superficiel, et la résultante de ces deux mouvements contraires a donné un relèvement de 0°',0082 ;

2® On a voulu rechercher l'effet des chocs ; pour cela on a établi sur la voûte un chemin.de fer sur lequel circulait un chariot, tiré à distance par un cabestan; ce chariot pesait 3,067 kilogrammes dont 2,532 sur l'essieu d'arrière ; on lui a fait gravir des coins, du sommet desquels il retombait brusquement ; la chute qui était d'abord de 0°»,10, a été portée à 0»,20 et à 0,30.

Les vibrations de la voûte étaient accusées par un stylet dont la pointe était en contact avec une feuille de papier sans fin, animée d'un mouvement uniforme, et en môme temps les vibrations de l'aiguille la peignaient aux yeux.

Le maximum de chute sur les reins ne produisait à la clef que des vibrations insensibles dont l'amplitude maxima ne dépassait pas 0°*,0006.

Mais les chocs à la clef produisaient une série d'oscillations, allant en diminuant d'une manière continue et régulière ; leur amplitude maxima a été de 0'",0028, et la voûte a mis de 4 à 7 secondes pour revenir exactement à sa position primitive.

A la suite des chocs, les maçonneries ne présentaient aucune fissure ni aucune ouverture de joints ;

5® On fit ensuite passer sans choc sur toute l'étendue delà voûte le même chariot pesant 5,510 kilogrammes. L'aiguille de l'indicateur indiqua un abaissement de la clef dès que le chariot vint à l'aplomb des reins; cet abaissement augmenta d'une manièrecontinue à mesure que le chariot s'avança vers la clef; lorsque le chariot fut à l'aplomb de la clef , l'abaissement était de 0^^,0003, puis il diminua

CUAPn-RE ffl; — THÉORIE DES VOUTES. 89

en repassant par toutes les valeurs intermédiaires jusqu'à zéro pendant le temps que le véhicule mit à gagner l'autre culée ;

4® On imposa à la partie de voûte destinée à supporter la chaussée une nouvelle surcharge de 1 ,0U0 kilogrammes (en tout une surcharge totale de i ,650 kilogrammes) par mètre superficiel.

On ne surchargea d'abord que la première moitié de la voûte et la clef s'abaissa de O'^,0018 ; puis on chargea la seconde moitié, et l'on obtint un relèvement de 0,0006.

Donc la surcharge uniforme de i,000 kilogrammes ne détermina qu'un abaissement de 0,0012 ;

5** On se proposa ensuite de rechercher l'épaisseur minima de la culée, compatible avi'c la stabilité.

On commença d'abord par remonter le cintre et on le plaça à O'^.Oa au-dessous de la voûte afin d'amortir la chute.

Une première tranche verticale de la culée, de 3 mètres d'épaisseur, fut enlevée sans produire d'eifet apparent sur l'aiguille indicatrice (0"*,0003 d'abaissement) . L'enlèvement d'une seconde tranche, de 2 mètres d'épaisseur, se traduisit par un nouvel abaissement de 0"*,0024.

L'enlèvement d'une troisième tranche, de 5 mètres d'épaisseur, détermina un nouvel abaissement de 0"»,0029, mais il ne se manifesta aucune fissure ni dans les joints, ni dans le corps de la maçonnerie.

Ainsi, la culée a été réduite de 7 mètres en six semaines, sans affaiblir la voûte, dont la clef s'est seulement abaissée à la clef de 0™,0065, bien que la surcharge de 650 kilogrammes au mètre superficiel existât toujours.

Alors, on déchargea complètement la voûte jusqu'à l'extrados, et elle remonta à la clef de 0™,01H, mais il faut dire qu'un soleil ardent dardait alors ses rayons sur l'extrados mis à nu.

Puis, on fit parlir deux mines dans la culée, dont la maçonnerie se fissura de toutes parts, sans que cependant un seul joint de la voûte vînt à s'ouvrir il y avait eu seulement un abaissement à la clef de 0",0007.

6** Pour arriver à ruiner la voûte, on attaqua au ciseau la rangée des voussoirs de contre-clef, et on arriva à réduire la section à une surface de 0",9I7 sans déterminer l'ouverture d'aucun joint ; mais alors quelques coups de masse suffirent pour amener l'écrasement et la voûte s'affaissa sur le cintre.

11 est à remarquer que les joints, de 0°*,012 d'épaisseur uniforme, avaient acquis une résistance égale à celle de la pierre.

7® M. de Lagrené calcule la poussée à la clef de la voûte d'essai par la formule de Navier, que nous avons démontrée précédemment, Q = R.p, dans laquelle R est le rayon de Tintrados à la clef, augmenté de la demi-épaisseur de la voûte etp le poids total qui surmonte un mètre carré de l'intrados.

En admettant la densité de 2550 pour la pierre de Souppes, on reconnaît que le petit solide de 0™,917 de section portait, avant l'écrasement, 399 kilogrammes par centimètre carré ; au moment de l'écrasement, la pression a dû atteindre 468 kilogrammes. M. Michelot indique pour la résistance de la pierre de Souppes à l'écrasement 455 kilogrammes en moyenne par centimètre carré.

En recourant à la formule précédente, M. de Lagrené trouve que, lorsque la voûte était entière et portait son chargement complet, la pression à la clef était de 45 kilogrammes par centimètre carré, c'est-à-dire le dixième de la résistance. On pourrait donc, suivant lui, avec des matériaux de choix, diminuer encore l'épaisseur à la clef.

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90 MXim m HAÇONNERIE.

Haïs iT a soin de faire remarquer que la pression n'est pas uniforme â la def» et qu'en certains points elle a dd dépasser 45 Kilogrammes et atteindre 70 ts3xh grammes par centimètre carré.

Nons allons tout â Theure donner une confirmation de cette idée.

Les expériences que nous venons de résumer offrent le plus haut intérêt; elles montrent qu'en somme les arches en maçonnerie avec mortier de ciment sofnt presque des monolithes et se conduisent comme des pièces métalliques ; elles obéissent comme elles aux lois de la dilatation et à celles de Télasticité. Elle? montrent encore que Ton peut réduire notablement Tépaisseur à la clef des voûtesy si l'on a recours à de bons matériaux et à une construction soignée, que l'on peut réduire aussi l'épaisseur des culées, que Ton a souvent exagérée notamment dans les voûtes en arc de cercle.

Calcul de la réalataiice des ▼oAtes eoMsIdérées coHune UMMiolitlies* —

Les expériences précédentes nous enseignent qu'il est permis d'assimiler les voûtes avec mortier de ciment à des arcs méialliques, c'est-à-dire que dans ces voûtes la résistance à la compression n'est pas seule à jouer un rôle, et que la résistance à l'extension intervient aussi.

En effet, les mortiers de ciment, aujourd'hui d'un usage courant, acquièrent une résistance comparable à celle de la pierre ; ces mortiers ont une grande adhérence pour les matériaux et transforment en monolithes les massifs â la confection desquels on les emploie. Ils ne constituent pas unr simple matelas séparant les pierres comme le faisaient les nnciens mortiers, dont la cohésion était minime; au contraire, ils soudent entre eux les matériaux, -de même que deux barres de fer rouge se réunissent pour n'en plus faire qu'une.

Dans ces conditions,, on reconnaît immédiatement que les anciennes théories qui ne tiennent aucun compte de l'extension ne sont plus admissibles, et qu'il faut appliquer à la résistance de pareilles voûtes monolithes les formules générales de la résistance des matériaux.

Malheureusement, ces formules générales sont d'une grande complication, et ne sont facilement maniables que pour des mathématiciens exercés; il ne faut guère compter qu'elles puissent entrer dans la pratique tant qu'elles ne se seront point perfectionnées et simplifiées.

Et puis, le point de départ lui-même n*'est pas bien défini, car la physique moléculaire et l'étude de l'élasticité des matériaux sont encore dans l'enfance.

Cependant, M. l'ingénieur de Perrodil, dans une note récente publiée aux Annales des ponts et chaussées de 1872, présente l'application des équations dta problème général de la résistance des matériaux au problème de la stabilité d'une voûte d'épaisseur variable traitée comme un monolithe homogène; il exprime d'abord le vœu que l'élasticité des pierres et des massifs de maçonnerfe puisse être soumise â des recherches expérimentales dont les métaux et les hoîs ont seuls été Fobjet jusqu'à ce jour, puis il établit les diverses formulas qui résolvent h question ; mais ces formules sont trop longues et trop compliquées^ pour trouver place dans ce traité élémentaire ; du reste, l'ignorance ois l'on est des coefficients d'élasticité fait que ces formules n'ont pas actuellement une grandie importance pratique.

M. de Perrodîl en a fait Tapplication à farche d'essai" de Sooppes ; il trotive que l'eflbrt de compression aux naissances à l'intrados dbrt atteindre fR5 Iptogrammes et Teffort d'extension à l'extrados 44 kifogrammes par centim^re carré.

Hais un pareil effort d'extension n'est guère admissible; ffurfotrt 8Î V^m te

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