CHAPITRE ffl. — THÉORIE DES VOUTES

joint de rupture est une surface conique à axe vertical; la calotte supérieure

tend à s'effondrer en tournant autour du cercle d'intrados de ce joint, et, au

] contraire, la partie inférieure de la \oûte tend à se renverser en tournant autour

j du cercle d'extrados des naissances et se déchirant suivant les méridiens qui

I correspondent aux parties faibles de la tour.

G* est en rendant immobile la partie inférieure au joint de rupture que Ton s^opposera le plus efGcacement au mouvement de la calotte centrale et à sa déformation.

Cette calotte centrale s'abaisse, et si Ton considère les anneaux successifs de voussoirs, on voit qu'ils se compriment et se rétrécissent ; il se développe donc, outre la pression à la clef, des pressions normales aux joints verticaux méridiens.

Dans les dômes tronqués au sommet, la pression à la clef n'intervient môme plus ; les voussoirs forment coins, et dans chaque anneau horizontal se transmettent une pression constante; cette pression est d'autant plus forte que l'abaissement du dôme est plus considérable et que Tanneau dont il s*agit est plus éloigné du joint de rupture ; c'est donc sur le cercle qui forme la base de la lan« terne du dôme, que s'exerce la plus grande pression sur les joints verticaux des voussoirs.

Admettons, ce qui n'est pas éloigné de la vérité, que le joint de rupture est placé à peu près à 25° des naissances dans un dôme (fîg. 2, pi. V), et soit mn ce joint de rupture. Construisons la résultante de tous les poids et charges compris entre mn et le bord (ab) de la lanterne ; soit p, cette résultante qui comprend, outre le poids de la maçonnerie, celui de la lanterne et de la couverture ; pour l'équilibrer, il faudrait supposer, appliquée au bord supérieur {ab) du dôme, une force horizontale Q telle que Qd=:pl ; la valeur de Q est donc bien facile à construire.

Mais, en réalité, ce n'est point cette force qui se développe, c'est une com^ pression dans les joints verticaux; il faut donc chercher la valeur de la compression qui lui est équivalente, et la formule de Navier va nous servir pour cela.

Nous avons vu que lorsqu'un anneau est pressé normalement par une force F par mètre courant, cela détermine dans une section de cet anneau une pression P donnée par la formule

dans laquelle p représente le rayon de l'anneau.

Cette équation nous donne donc la pression P que les voussoirs qui terminent e dôme se transmettent par l^urs joints verticaux.

Mais en réalité, celte pression P ne provient pas seulement de la réaction du dernier cours de voussoirs; tous les voussoirs compris entre la lanterne et le joint de rupture concourent à la produire; il faut donc la regarder comme la résultante des pressions qui s'exercent sur un joint méridien de (ab) en (mn). Près du joint de rupture, la déformation est très-faible et il en est de même de la compression des voussoirs; donc, on peut supposer que la force P résulte d'une série de pressions croissant en progression arithmétique de (mn) jusqu'en (ab) ; nulle au joint de rupture, la pression estmaxima au sommet.

De ceci résulte que le tiers de la surface abmn doit supporter les deux tiers de P, et par suite la section (abmn) doit être assez forte pour résister au double de P.

Digiti

Cette méthode simple est d'une application aussi facile que rasslmilation des ddmes aux Toutes en berceau; elle est au moins aussi plausible, elle convient aux dômes complets aussi bien qu'aux dômes à lanterne, et elle a l'avantage de «conduire à des dimennons moindres que celles qu'on obtient pour un berceau de même ouverture, ce qui est plus conforme â la vérité des faits.

L'immobilité de la partie du dôme inférieure au joint de rupture est le meîlleur garant de la stabilité; cette partie tend à se déchirer en tournant autour du cercle extérieur de base ; on s'oppose à cet effet, soit en donnant à la base du [ dôme une épaisseur suffisante, soit en la soutenant par des contre-forts, soit en l'entourant d'une ceinture de fer posée à chaud et s'opposanf é tout mouvement d'extension.

Si la poussée horizontale de la voûte est de F par mètre courant du cercle de base, la tension à laquelle l'anneau devra pouvoir résister s'obtiendra par la formule P= F/), qui déterminera la section transversale de l'anneau.

Vers le milieu du dernier siècle, on remarqua que le magnifique dôme de Saint-Pierre de Rome présentait de nombreuses fissures méridiennes, qu'il s'était ouTert à l'extrados au joint de rupture et â l'intrados aux naissances;, la partie inférieure menaçait donc de se renverser. On conjura le moutement et même on ramena l'édifice vers sa position normale, au moyen de cercles en fer qui s'opposèrent à l'agrandissement du diamètre de la partie inférieure du dôme.

ToAtes en ai« ée èlottre. — Nous avons défini la voûte en arc de cloître dans notre Traité de coupe des pierres. Une voûte en arc de cloître est un dôme à base polygonale.

Le polygone de base est régalier et ses côtés opposés sont parallèles ; deux côtés parallèles sont les naissances d'une voûte en berceau, toutes les voûtes en berceau ainsi obtenues ont même montée et se coupent suivant des ellipses dont le plan est vertical.

L'arc de cloître que Ton rencontre le plas souvent est cehiî que représente la figure 3 de la planche V ; il est établi sur un rectangle mnpqy et se compose de deux berceaux qui se coupent suivant des demi-ellipses projetées sur les triangles mcpy ndq.

Pour la résistance, on peut considérer chacun des berceStux comme isolé, et en calculer le joint de rupture et la courbe des pressions comme nous l'avons fait pour un dôme. On arrivera de la sorte' à des dimensions plus fortes qu'il n'est nécessaire. En outre, la méthode ne s'appliquera pas au cas où la voûte est terminée par une lanterne, cas qui se présente très-fréquemment. Ce n'est plus la poussée à la clef qui alors établit l'équilibre ce sont les réactions qui se produisent le long des intersections des berceaux; les berceaux s'arc-boutent réciproquement et forment coin l'un par rapport à l'autre. Pour que l'un s'affaisse, il faut que les pierres, placées à l'intersection, se rompent, et on a soin de placer aux intersections de fortes chaînes de pierres qui participent à la fois aux deux berceaux accolés.

En assimilant la stabifitè des voûtes en arc de cloître à celle des berceaar, oir est sûr d'arriver à des dimensions plus que suffisantes. On peirt donc se borner à cette méthode.

La poussée horizontale est moindre pour les arcs de cloître, comme pour les dômes, que pour les berceaux de môme ouverture ; les culées n'ont donc pas besoin d'être aussi massives, et c'est ce qui fkeiUte Fémploî de ce genre de voûtes ^n architecture.

Digiti

GBÂPITRE m. — THÉORIB MS VOUTES. 103

Toute d'arête*. — La voûte d'arètes est formée par deux bereeam de même montée qui se pénètrent comme le montre la figure 4, planche V; leurs intersections sont encore des ellipses planes formant une ligne sdllante ouarète» tan-* dis que dans Tare de cloître l'interseetion est en creux.

On peut trouTer le joint de rupture et construire la courbe des pressions par les procédés en usage pour les voûtes en berceau, en considérant par exemple le berceau abcdef comme isolé. Contrairemmit à ce qui se passe dans les voûtes en ' arc de cloître, la longueur des génératrices du berceau Ta en augmentant de» ! naissances au sommet, le joint de rupture est plus élevé que dans une voûte en | berceau d'égale ouverture, et la poussée horizontale qui se transmet aux piliers formant culées est beaucoup plus considérable. 11 faudrait donc donner à ces pi- 1 liers de grandes dimensions; mais d'ordinaire, on n'a pas recours à une voûte d'arêtes isolée, on construit une série de' voûtes accolées sur plusieurs rangs, les poussées s'équilibrent et les piliers n'ont à porter qu'une charge verticale, le poids de Tédifice ; seuls les piliers de rive doivent avoir des dimensions suffisantes pour résister à la poussée.

VoAtM en egf Ye. — La voûte en ogive, qui Ton rencontre dans quelques ponts, surtout en Orient, est particulièrement en usage dans l'architecture. Son intrados se compose, comme on sait, de deux arcs de cercle dont les tangentes aux naissances sont verticales et qui se coupent au sommet de la voûte.

La figure 5 de la planche V représente une ogive. La recherche du joint de rupture et de la courbe des pressions est exactement la même que pour les voûtes en berceau.

Ainsi, 1° pour déterminer le joint de rupture, il faut trouver celui pour lequel la tangente â Fintrados rencontre la verticale du massif superposé, au même point que cette verticale est rencontrée par la direction de la poussée à la clef.

Le joint de clef ne s'ouvre jamais dans une ogive régulièrement construite, et le point d'application de la poussée est placé sensiblement au milieu de ce joint, phitût au-dessous qu'au-dessus.

On ne risque donc rien de le placer en q au milieu de ce joint, et la direction de la poussée est l'horizontale qQ.

Considérons les joints a, b, c, d, et menons les tangentes à leur intrados ainsi que les verticales 9,g\g",g"' des centres de gravité des massifs superposés à chacun de ces joints. Les tangentes et les verticales correspondantes se coupent ; réunissons leurs points d'intersection par un trait continu, nous obtiendrons une courbe tangente au sommet de Tintrados et asymptote à la verticale qui passe par le centre de gravité de la demi-voûte complète. Cette courbe rencontre la poussée à la clef au point m, et la tangente menée par le point m à Tintrados touche cet intrados au point r, qui donne la position du joint de rupture.

i^ En décomposant le poids Çr suivant Thorizontale Q et la tangente mr, 09 trouve la valeur constante de la poussée horizontale et l'on peut construire géo* métriquement la courbe des pressions.

Entre la clef et le joint de rupture, la courbe des pressions s'approche souvent d'une manière notable de l'extrados, elle ne doit jamais en sortir et il est dan*gereux qu'elle s'en approche trop ; dans le cas où ce fait se produirait, il faudrait augmenter l'épaisseur de la voûte de manière à enfermer la courbe dans son intérieur.

Lorsque la voûte coupe Textradios, elle indique par cela même qu'il se produit un point de rotation à l'extrados. Ainsi, supposez que, par une vice de construction ou de décintrement, }e point d'application de la poussée se porte

Digiti

en A à l'extrados de la clef, la courbe des pressions sortira forcément de Tertrados, et il se formera un point de rotation en s, sur le joint pour lequel la tangente à Fextrados est parallèle à la tangente à la courbe des pressions.

Ainsi le joint (su) va s'ouvrir à Tintrados, et la partie de la voûte continue à la clef va se soulever, en même temps que la masse comprise entre le joint (su) et le joint de rupture va se renverser à Tintérieur.

Dans le cas qui nous occupe, le danger de renversement tient à un vice de construction, et on peut facilement conjurer le danger en abattant Tangle aigu A comme le montrent les hachures ; en elfet, on ramène alors la courbe des près sions à Tintérieur de la voûte; il est vrai qu'on réduit l'épaisseur à la clef, mais dans les voûtes en ogive, cette épaisseur est toujours trop grande eu égard à la valeur de la poussée et à la résistance des matériaux.

Le soulèvement de la clef se produira encore si l'épaisseur de la voûte est trop faible, même en plaçant le point d'application de la poussée au milieu de la clef; en effet, la courbe des pressions a sa tangente à la clef horizontale, ce qui n*est pas vrai pour la courbe d'extrados, il pourra donc arriver, si l'épaisseur est insuffisante, que la courbe des pressions sorte de Textrados et quil se forme un point de rotation s.

Cet effet de soulèvement qu*on remarque dans les voûtes en ogive était bien connu des anciens architectes qui, pour s'y opposer, avaient soin d'accrocher à la clef de leurs ogives des lustres pesants ou de lourds ornements en fer ; Brunelleschi, l'architecte du dôme de Sainte-Hariedes-Fleurs à Florence, craignant pour la stabilité de son œuvre, ordonna, dit-on, étant à son lit de mort, de couronner le dôme par une lourde lanterne.

En résumé, la recherche de la stabilité des voûtes en ogive est très-simple ; il suffit de tracer avec soin la courbe des pressions en plaçant le point d'application de la poussée au milieu de la clef, et de voir si cette courbe coupe l'extrados en quelque point ; si Ton Veut se mettre à l'abri des circonstances accidentelles qui pourraient porter la poussée à la clef vers le sommet de Fextrados, on n'a qu'à couper horizontalement l'angle supérieur de la voûte. La pou>sée horizontale est bien moindre dans les voûtes en ogive que dans les voûtes en berceau de même ouverture, elles réclament donc des culées ou des pieds-droits moins puissants.

Toute en plate-bande. — Souvent en architecture, on recouvre une porte ou une fenêtre parce qu'on appelle une plate-bande abcd; c'est une voûte ayant pour intrados et pour extrados deux droites horizontales. Si une pareille voûte était appareillée par joints verticaux, il est clair que la cohésion seule des mortiers interviendrait pour maintenir l'équiUbre, et que probablement la plate bande s'écroulerait (fig. 6, pi. V).

11 faut donc adopter des joints inclinés et les placer, comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois, perpendiculairement à la courbe des pressions.

Lorsque la plate-bande est décintrée, l'intrados e de la clef s'abaisse, l'abaissement est plus ou moins considérable, mais il se produit toujours ; donc, la pression est nulle en {e), et si l'on admet qu'elle croit uniformément de l'intrados à l'extrados, on trouve que, le point d'application de la poussée est en g au tiers de la clef à partir de l'extrados. D'autre part, la courbe des pressions passe nécessairement aux naissances ; c'est donc une courbe telle que agb; elle est régulière, et on peut bien l'assimiler à l'arc de cercle qui passe par agb.

Ainsi, pour tracer approximativement la courbe des pressions d'une platebande, on prendra le point situé au tiers de la clef à partir de l'extrados et on

Digiti