CHAPITRE ffl. — THÉORIE DES VOUTES

fera passer un arc de cercle par ce point et par les deux points des naissances. C'est du centre o de ce cercle que devront partir toutes les lignes de joint des voussoirs.

La valeur de la poussée Q se détermine par la condition que son moment par rapport au point de rotation (a) soit égal au moment du poids total P qui agit au milieu de la clef; donc, en désignant par 2/ l'ouverture et par e Tépaisseur, on devra avoir

répaisseur à la clef doit être suffisante pour que le fiers du joint puisse supporter sans danger les deux tiers de la poussée; si l'on appelle R la résistance maxima qu'il convient de ne pas dépasser pour les matériaux dont on se sert, on aura :

R*=2Q=5^, d'où *=\/Ç»

formule qui permettra de calculer immédiatement l'épaisseur d une plate-bande quelconque.

Are-boatemento de vciAtes. — Les arcs-boutements de voûtes se rencontrent très-fréquemment dans les constructions de pont ; mais presque toujours deux voûtes voisines sont de dimensions à peu près identiques, de sorte que leurs poussées horizontales sur le pilier qui les sépare se contre-balancent et déterminent seulement une compression latérale des matériaux sans déplacement ; il ne reste que les forces verticales qui, se trouvant uniformément réparties, ont leur résultante au centre du piKer.

Le calcul des dimensions du pilier est alors aussi facile à faire que celui d*un mur ordinaire ; sa section horizontale s'obtient en divisant le poids total qui lui est transmis pat la pression maxima qu'il convient d'imposer à l'unité de surface des matériaux, eu égard à leur nature.

Cependant, cette règle simple ne devrait pas être strictement appliquée à des piUers de petite épaisseur relativement à leur hauteur, car ces piliers sont alors exposés à flamber comme le ferait par exemple une planche mince placée verti* calement.

Dans les viaducs élevés, il faut se méfier de cette circonstance éventuelle du 'flambage et prendre ses précautions en conséquence. De même, dans les ponts de petite ouverture qui théoriquement n'exigeraient que des piles très-minces, il convient de forcer un peu les proportions afin de parer à toute éventualité.

Pour simplifier la question et pour donner une idée des phénomènes qui peuyent se passer dans l'arc-boutement, étudions d'abord avec M. Dupuit le cas re« présenté par la figure 7 de la planche V.

Soit une voûte en arc de cercle dont le joint de rupture est en CD aux naissances ; on applique à la culée une force horizontale R croissant sans cesse à partir de zéro, et Ton se propose de trouver les modifications que la présence de cette force apporte à la courbe des pressions et à la stabilité de la voûte.

La poussée à la clef étant appliquée en vers le milieu du joint, prenons comme axes de coordonnées Thorizontale OX et la verticale OY; soitp la verticale du centre de gravité du massif superposé au point de rupture et ^ son abscisse; appelons tfi Tordonnée de la force horizontale R, h celle de la base de la culée, • la demi-ouverture de la voûte, c'est-à-dire l'abscisse du point S.

Digiti

106 POIVrS EN MAÇONNERIE.

Lorsque la vo4te est libre, la courbe des pressions, facile à constraire, est ODmP; le point de cette conrbe, situé sur un joint donné, s'obtient en composant tous les poids superposés à ce joint avec la poussée horizontale constante Q. Quand on atteint le niveau de la force R, celle-ci intervient, et doit être conaposée avec les autres forces ; elle se retranche de la poussée horizontale Q ; sa présence a donc pour résultat de rapprocher de la verticale les résultantes primitivement obtenues sur les divers joints. Par suite, la courbe des pressions se brise en m quand elle arrive à la hauteur de la contre-poussée R, et, à mesure que celle-ci augmente, le point F se rapproche de S, qu'il finit par atteindre lorsque la poussée à la clef Q, la contre-poussée R et le poids total P de la voûte jusqu'aux naissances sont en équilibre par rapport au pomt S, c'est-à-dire lorsque la somme de leurs moments par rapport à ce point est nulle. Ace moment, on a ta relation

(1) P(a-«*)-*-Ri(A-yi=Q4*,

équation qui détermine la valeur R^ de R.

Ainsi, tant que cette force varie de zéro à R^^ la calée ne bouge pas, donc le joint de rupture et la poussée à la clef restent les mçmes; seulement le point d'application de la résultante des actions de toute nature transmises à la base de la culée se rapproche de Tintrados.

Lorsqu'il arrive à l'intrados, la rotation de la culée à l'intérieur de la voûte commence, le joint de rupture se ferme, et la courbe des {H^essions remonte sur ce joint de rupture en même temps qu'elle s'abaisse à la clef, où la poussée aug* mente de valeur.

Les valeurs successives de la poussée satisfont sensiblement à la relation

On voit que Q^ augmente sans cesse avec R ; la courbe des pressions prend dee positions successives telles que O'm'S, jusqu'à ce qu'elle atteigne l'extrados en r. A cet instant, le moment par rapport à r des poids superposés à l'assise {rm) est égal au moment de la poussée à la clef Q, dont la valeur peut se déterminer faei* lement ; en la rapportant dans l'équation (2), on trouvera la valeur correspondante de la contre-poussée R.

Si cette valeur vient à être dépassée, la courbe des pressions sort de l'es** trados, la culée se renverse à l'intérieur pendant que la partie supérieure de h voûte s'effondre après avoir été soulevée tout d'abord.

On voit par l'exemple précédent comment on pourra appliquer le calcul à des phénomènes de cette nature. Mais, dans )a pratique, il est inutile de recourir ta calcul, et Ton peut se contenter de simples constructions géométriques.

Soit une voûte (abcd) reposant sur un pied-droit ecfg (ôg. 8, pi. V). Censtruisons la courbe des pressions kck. En principe, cette courbe ne doit jamais sortir du massif; mais, sans sortir du massif elle peut s'approcher du point ^d'une ma* nière inquiétante. Si la pression venait à se concentrer sur ce point, il est clair que le sol fléchirait, qu'il se produirait un certain renversement de la culée et que la stabilité de la construction serait compromise.

Il faut donc ramener la courbe des pressions plus à l'intérieur du massif, et s'arranger par exemple de manière à la faire passer par le nûlieu de la base.

On pourra arriver à ce résultat de deux manières :

Digiti

GHÂPmœ m. — T^RIE DES TOUTES. 101

i® En construisant au-dessus de la culée un massif de maçoimene assez lourd et dont le centre de gravité soit conTenablement placé.

A cet effet, soit S la poussée exercée par la voûte sur son joint de rupture ; cette poussée se compose avec le poids P du massif inférieur au joint de rupture, et leur résultante R coupe la base du pilier au point h qui appartient à la courbe des pressions (fig. 9). On veut amener celte courbe à passer au milieu i de la base, en imposant au pilier une surcharge de maçonnerie dont le centre de gravité se troote sur la verticale xy^ et on demande la valeur de cette surcharge.

Prolongeons R (fig. 9, pi. V) jusqu'à sa rencontre en avecary; la résult«ite de R et de la surcharge devra se trouver dans la dh-ection 01 ; prenant OR' égale à OR et achevant le parallélogramme des forces nous trouvons que la surcharge est mesurée à Téchelle par la longueur OP'.

2® Mais le système de la surcharge, qui conduit souveitt â des dispositions fort élégantes en architectare, est quelquefois gênant et il exige toujours plus de maçonneries qu'on n'en dépenserait pour contre-buter la culée par une voûte.

C'est le second système que Ton peut adopter, et c'est celui qu'on rencontre le plus souvent dans les ponts. Généralement, les grandes voûtes de rive sont prolongées par des voûtes plus petites sous lesquelles passent les chemins de halage, et on tire parti de ces voûtes pour réduire la masse de la culée.

On se donne donc la voûte de décharge, elle transmet au pilier une poussée S' (fig. 8), qui, composée avec la poussée S de la grande voûte et avec le poids P du massif situé ai-dessous des deux joints de rupture donne la résultante à la base dn pilier et son point d'application t.

Si Ton trouve que ce point d'application n'est pas assez rapproché du mib'eu de la base> on modifie la poussée de la voûte auxiliaire en en changeant soit l'ouverture, soit la flèche.

Généralement, on n'en peut pas changer l'ouverture qui est fixée par d'autres considérations; mais on peut agir sur la flèche.

Nous avons vu que la poussée horizontale d'une voûte d'ouverture et d'épaisseur données est d'autant plus considérable que cette voûte est plus surbaissée. Ainsi , Togive ou le plein-cintre ne conviennent pas pour des voûtes de décharge; lorsqu'on veut produire un contre-butement énergique, c'est à un arc de cercle se rapprochant le plus possible de la plate-bande qu'il faut recourir.

Et cela se conçoit, car, puisqu'il s'agit de résister à mie poussée horizontale, il faut lui opposer des joints se rapprochant le plus possible de la normale à la direction de la poussée, c'est-à-dire de la verticale.

Après quelques tâtonnements, on arrivera toujours à déterminer ks pi'Oportions convenables.

Mais, rappelons que, dans la pratique, il faut, autant que possible, que la coi&rbe des pressions de la grande voûte supposée isolée, ne sorte pas de sa culée ; si elle venait à en sortir, sans doute on pourrait la ramener à nne position convenable au moyen d'une voûte de décharge; mais celle-ci, comprimée par le déversement du pilier, ne serait plus dans un état naturel ; il s'y développerait à la clef des poussées extraordinaires, et il faudrait lui donner plus que les dimensions usuelles.. C'est alors que la nécessité d'une voûte de décharge surbaissée apparaît bien, carie plein cintre risquerait d'être écrasé et de périr en se relevant au sommet.

Une manière sfmpîe de contre-bufer une voûte, c'est de lui accoler une demivoûte égale ; la poussée horizontale se trouvant la même des deux côtés, la

Digiti

PONTS EN HÂQONNERIE.

courbe des pressions reste verticale dans le pilier et nul effort de renversement ne se produit. Ce système est fort en usage dans le style gothique ; remarquez cependant qu'il ne fait que déplacer la difficulté ; car il faut toujours créer une culée à l'arc-boutant, ce que Ton fait d'ordinaire en le surchargeant au-dessus des naissances avec des clochetons et en le supportant par des piliers dont l'épaisseur va en croissant jusqu'au sol de manière à enfermer toujours la courbe des pressions.

Nous avons supposé jusqu'à présent que la grande voûte et celle qui la contrebute ont leurs naissances au même niveau.

Si la voûte de décharge a sa naissance plus bas que celle de l'autre, le bras de levier de sa poussée par rapport à l'arête inférieure du pilier est moindre que précédemment, donc la poussée horizontale qui lui est transmise doit être plus forte et il est nécessaire de la surbaisser davantage.

Si la voûte de décharge a sa naissance plus haut que celle de la grande voûte, son bras de levier augmente, sa poussée diminue.

Hais, dans Tun et Tautre cas, il faut toujours suivre attentivement les courbes des pressions notamment dans la partie du pilier comprise entre les deux voûtes et reconnaître si nulle part ces courbes ne sortent du massif.

Nous nous bornerons aux considérations précédentes qui suffiront, nous Fespérons, à guider le lecteur dans les cas les plus compliqués. En combinant les constructions géométriques avec le théorème des moments, on arrive toujours à des résultats simples et nets qui suffisent à tous les besoins de la pratique.

Résistance des enlées et des mors de sontèDemeiit. — Quand on s'est assuré de la stabilité des voûtes, cela ne suffit pas; il faut encore s'assurer de la stabilité des supports.