PILES
Pour les piles, rien n'est plus facile; puisqu'elles séparent deux voûtes égales, les poussées horizontales s'équilibrent en déterminant une compression latérale des maçonneries. 11 n'y a point de renversement à craindre ; on n'a plus à tenir compte que des efforts verticaux, qui sont toujours parfaitement connus. Sachant en outre quelle pression maxima on ne doit pas dépasser par unité de surface, on calcule immédiatement la section horizontale à donner à la pile.
Exemple : une pile doit porter par mètre courant 120,000 kilog^rammes, et elle est construite avec des matériaux, se rompant sous un effort de 60 kilogrammes par centimètre carré, c'est-à-dire tels qu'on ne doit pas leur faire porter d'une manière permanente plus de 6 kilogrammes par centimètre carré ; la section de la pile devra être de 20,000 centimètres carrés par mètre courant, c'est-à-dire qu'il faudra lui donner deux mètres de large.
CULËES.
Pour les culées la chose est moins facile, cependant elle se simplifie beaucoup par la considération de la courbe des pressions.
tflAPITRE m. — THÉORIE DES VOUTES. lO'j
Il est nécessaire, avant d'entrer au vif de la question, d'exposer quelques considérations préliminaires :
Problème. — Étant donné un massif homogène (fig. 10, pi. Y) à arêtes verticales et à section horizontak rectangulaire (abcd), sachant que la base de ce massif est pressée par une force verticale N dont le point d'application h est situe sur un des axes de symétrie du rectangle^ on demande quelle est la pression élémentaire en un point quelconque du rectangle et particulièrement en quel point se produit la pression élémentaire maxima»
Dans le premier chapitre de son Cours de mécanique appliquée, H. Bresse résout complètement la question par la considération des centres de percussion. Nous ne pouvons reproduire ici cette méthode si élégante et si intéressante.
11 arrive à ce résultat, que Ton trouve à la page 62 de son traité :
i^ Lorsque le point d'application h de la pression verticale N est tel que sa distance oh au centre du rectangle soit inférieure au tiers du demi-axe (om), si
Ton désigne le rapport — par la lettre n, et qu'on appelle S la surface du rectangle {abcd)f la pression maxima s'exercera sur Taréte (bd) du rectangle, et cette pression par unité de surface s'obtiendra au moyen de la formule
2® Lorsqueau contraire le rapport — est supérieur à {, la pression maxima s'exerce encore sur l'arête (bd) du rectangle, mais elle est donnée par la formule
Dans le premier cas, la surface (abcd) tout entière est pressée; lorsque le rapport n atteint la valeur |, toute la surface de base est encore pressée, mais la pression est nulle, sur l'arête extrême (ac); dans le second cas, lorsque n est plus grand qu'un tiers, si Ton prend (mA), égal à trois fois mfe, la pression sera nulle en dehors de l'arête a^q et elle ira en croissant depuis celte arête jusqu'à l'arête bd.
Mais on peut donner une démonstration simple des formules précédentes :
Appelons 2a la longueur du rectangle, p et P les pressions en m et n (fig. 1 ! ),
xla distance qui sépare m d'un point quelconque de Taxe mn^
c la distance qui sépare le point d'application h du milieu de l'axe.
Sous riniluence de la force N, la base mn se déplace plus ou moins; on admet qu'elle ne se déforme pas et qu'elle reste plane; on admet en outre, ce qui est conforme aux lois d'élasticité, qu'en chaque point la force élémentaire est mesurée par le déplacement.
Ainsi, en m, la pression est mesurée par la verticale mp.
Grâce à ces hypothèses, que l'expérience justifie dans une certaine mesure, on peut calculer la déformation en posant la condition que toutes les forces élémentaires aient une résultante égale et directement opposée à N.
Il faut pour cela deux conditions :
1^ La somme des forces élémentaires, telles que mp, somme représentée par Taire du trapèze mnp? doit être égale à N, ce. qui donne une première
HO Fmrrg m iaqoiinbhb.
relatioii
9* La somme des moments des forces ëtèmentaires par rapport an point h ddt être algébriquement nulle (fig. 11, pi. V).
Or la somme des moments des forces sitnées à ganche de ft est égale an moment de laîre du trapèze mhpl^ et la somme des moments des forces sitnées < à droite de h est égale au moment de Paire dn trapèze nftPI ; ;
La wrtioale M a pour làkm
la hauteur du trapèze de gauche est (a+c) et celle du trapèze de droite est (a — c) ; égalant le moment du trapèze de gauche au moment du trapèze de droite, il 'fient:
Des équations (1) et (3) on tire les nleors suivantes de p et de P en fonction deN:
Ainsi la plus grande preasion s'exerce sur Taréte du rectangle la plus nqpprochée de la pression N ;
Et si Ton remarque que nos calculs s'appliquent à une tranche rectangulaire d*un mètre de largeur, ce qui fait que l'aire S de cette tranche est mesurée par
2 a, si Ton pose ea outne |=s: », la valeur de P peut s'écrire comme plus haut
sous la forme aiofte
Voyons maintenant comment varient les pressions élèmentairei quand la force N se déplace; e peut varier de à a.
Pour cs=o, on tronTep=P= c ^^ 1^ presdon est uniformément répartie
sur toul^ la surface de base ; À mesure que c augmente, P augmente aussi et p djiniiqn^^
Lorsque c atteint ^ a, p est nul, et au delà, p deviendrait nSgatif ; mda,
dans les maçonneries, on ne tient pas compte de la résistance à l*fixtensioa et qd
la suppose nulle, de sorte que, pour c> ^ a, il y a une xone du rectangle qui
n'e^t pas pressée, et cette zone est facile à déterminer, car il suffit de prendre nis=3.iiAiau point i la pression est nulle ainsi que sur la surface située i
Digiti
GHiPTTRE ffl. ^ THfiOiaB MS VOUTES. iif
gaodic tt die n em umtmA dflfMiisee point jiisqa'aii n* où die aUeiat ton maximum (fig. 13).
Poarc=;^ a,
b pression est double de la valeur qu'elle prendrait si elle était uniformément répartie.
Pour
on a : n k = 3 fo — - e), Égare 1% plandie ▼, et Faveda triangle k np, qui repré sente la sonune des presaîons élémentaires, doit être égale à N, d*où la jektîoa
Posant - = n et remarquant qae la surface dn rectangle de base «al mesurée par SOf nous pouvons écrire la valeur de Pp
La pression P devient infinie sur Tarile lorsque la force N est prédsëmeat appliquée sur cette ar^e.
En résumé, nous retrouvons les deux formules simples de H. Bresse* En voici une application :
l*Sk>it une tranche de culée ayant 6 métrés de long et 1 métare delarge soumise i une pression verticale de 800,000 kilogrammes.
On a :
^sC«, N =200,000.
Supposons que la force N soit appliquée à 0*,50 du centre dn rectangle, la valeur de n est égale à ^ ou ^, c'est-à-dire inférieure à }; donc la prest^ion maxima P, qui 8*exerce toujours sur l'arête la plus rapprochée de N, est donnée par la formule
n ^iM L. X 200 000/. . 3\ 200.000 5 .^ aaa
La pression sur Farête est donc de 50,000 kilogrammes par mètre carré, ou 5 kilogrammes par centimètre carré, ce qui, presque toujours, est admissible.
Si la pression était uniformément répartie, c'est-à-dire si la force N était appliquée m centra du rectangle, on aurait
p^|=?00^ = 33.333kilog.
ponr n=| P=:66,666 kilog.
lis PONTS EN KAÇONNERIE.
i^ Supposons maintenant que la force N est appliquée à ^^^bO du centre du rectangle, il faudra calculer P par la formule
qui, pour» = 5, donne :
P»^:^!^^ -îj = SOO.OOO. J. ?= §.200.000= 88.888 kik», 5.5
5 ' Enfin, si l'on faisait n = ^ c'est-à-dire si Ton supposait la force N appliquée à
2'",50 du centre du rectangle, on trouverait P = 266666 kilogrammes par mètre carré ou près de 27 kilogrammes par centimètre carré, ce qui dépasserait certainement les pressions les plus grandes qu'il soit permis d'imposer même au rocher.
Grâce à ces exemples, on pourra calculer la pression maxima qui s'exerce à la base d*un massif quelconque de maçonnerie.
2*^ Théorème. — Lonqu'un massif de maçonnerie limité à des faces verticales est soumis à laction d'une force appliquée sur sa face supérieure, la courbe des pressions à Vintérieur de ce massif est une hyperbole à asymptote verticale, dont la concavité est tournée du côté d*oii vient la force.
Soit un massif de maçonnerie dont la section verticale est le rectangle OGHK (fig. 4, pi. VI); dans le sens normal à la figure, ce massif n'a qu'un mètre de large ; c'est ainsi que l'on agit d'ordinaire dans la pratique, où Ton se contente de faire le calcul pour un mètre courant de culée ou de mur de soutènement.
La force R faisant avec l'horizontale l'angle a, agit sur la face supérieure de ce massif; pour trouver un point de la courbe de pression, par exemple celui oii elle rencontre la base HK, il faut composer la force R, représentée par la ligne AB avec le poids du massif représenté par ÂG. La résultante est représentée par AD; elle coupe la hase au point E qui appartient à la courbe des pressions. Soil ^1 et y^ les coordonnées de ce point E, dont il s'agit de déterminer le lieu.
Le poids du massif superposé à la base est représenté par 2 a dy^ en appelant 2a la largeur de ce massif et d sa densité.
Désignons par l la distance du point d'application de la force R à l'arête du massif, c*est-à-dire à l'origine des coordonnées;
L'équation de la droite AR est
ysstonga(«— I),
L'équation de la droite AG est
«— assO,
et l'équation générale des droites passant par Tintersection des deux précédentes, c'est-à-dire parle point A, est
(i) y-tang«(«— 0+i{*— «/=0,
dans laquelle \ représente un coefficient indéterminé.
(iHAPHRE m. — THÉORIE DES VOUTES. «3
Le coefficient angulaire de la résultante AD est représenté par tang p, c'est-à-
DF dire par le rapport «ji
Or DF=DB+BF=2acf2(i + Rsin a et FA=Rco8a,
j 4. ^ ?flrfM, -f- R sin a donc ^"gP- Rcosa
La droite indéterminée (i) peut s'écrire :
îf={tanga+a)«+aa— Uanga,
si Ton veut qu'elle représente précisément la résultante AD, il faut exprimer que son coefficient angulaire (tanga + >) est égal à (tangjS), ce qui conduit à la relation :
Éliminant l'indéterminée \ entre les deux équations (1) et (2), il nous restera une équation qui nous donnera la valeur de x^ en fonction de y^; nous aurons donc obtenu la rdalion qui lie l'une à lautre les coordonnées d'un point de la courbe des pressions, c'est-à-dire l'équation même de cette courbe. ' Cette équation est :
(3) 2a<i22^ + (Roo8a— 2a*d)y— Rsina« + R/sinasBO
qui représente une hyperbole, ayant pour asymptote la droite verticale :
SadE+Rcosa— 2aM ssO
L'autre asymptote est horizontale ; donc l'hyperbole est du genre équilatère. Lorsque « = 0, c'est-à-dire lorsque R se réduit aune poussée horizontale l'équation (3) se réduit à
Siuir+R— 2a^=0
c'est-à-dire que la courbe des pressions est une droite verticale, ce qu'il est facile de démontrer géométriquement en considérant dans le massif une série de tranches horizontales éqiiidistantes.
L'intérêt des calculs précédents est plutôt théorique que pratique; jamais il ne faut calculer la courbe des pressions, on doit en construire géométriquement quelques points que l'on réunit ensuite par un trait continu.
Le massif d'une culée est toujours à peu près assimilable à un pilier à faces verticales, donc la courbe des pressions diffère peu d'une'hyperbole tournant sa concavité vers la force R : c'est là un renseignement précieux qui permet de tracer très-exactement la courbe des pressions lorsqu'on en a déterminé deux ou trois points.
Détermination de Vépaisseur d'une culée, — Soit une voûte complète (figure 5, planche VI), dont cd est la demi-ouveiture et [ca) la montée, nous savons que le joint de rupture ef correspond sensiblement au milieu de la montée, et nous pouvons par suite calculer la poussée à la clef et la pression R transmise au joint;
Digiti
iU PORTS EN MAÇONNERIE.
la coorbe des pressions est tangente en (e) à la droite R; de plus, il est facile de trouver le point où elle rencontre la base {hg) de la culée, en composant R avec le poids P du massif de cette culée; la résultante perce la base au point K ; ces éléments suffisent pour tracer la courbe des pressions d'une manière suffisamment exacte.
Deux conditions sont nécessaires pour la stabilité de Tédifice :
1<^ La courbe des pressions ne doit pas couper trop obliquement la base de la culée, parce que le glissement de cette base sur le sol pourrait se produire. L'angle de frottement est égal environ à 35*. Presque jamais, Tinclinaison de la courbe dès pressions n'atteint celte limite ; cq>eiMkat, cela peut arriver et il est bon de le prévoir ;
2* La pression maxinu à la base de la culée ne dfkh pas dépasser une certaine limite. Cette limite est facile à calculer, comme nous l'avons vu plus haut :
La résultante agissant au point A: a pour composante verticale N le poids éà la demi-voûte plus celui de la culée; d'autre part, on mesure ok et on prend
le rapport n = -r» Le point o est le milieu de ïa base h g.
Si ce rapport est inférieur à •(, la {H^ession maxîma est dumiée per «;^ (i s'il est supérieur à ^ par
et cette pression maiiioa: a'cxerce sur l'arâte i.
On verra si elle dépasse là limite admissible, ou si elle lui est inférieure^ et on augmentera ou bkn on diminnedra en oonsëquenfie Venpc^tmettl de la culée.
Rappelons qu'il convient de placer les assises successives de maçonnerie de la culée non pas horizontalement, mais normalement à la courbe des pressions : c'est une précaution très-facile à observer et très-favorable à la relance.
RappeliHis encore qoe la hauteur de la culée doit aller en diminuant à partir de ia retombée de la voûte, et qu'il convient de lui donner la forme indiquée à la figure, et non le profil pointillé, car le massif triangulaire (mif) ne tend pas à ramener lé point A: vers le centre de la base : ce massif additionnel serait souvent plus nuisible qu'utile, et mieux vaut le supprimer, ou bien le faire servir à augmenter l'embase de la culée.
Méthode empirique pour le xiaîcul des culées, — Souvent on ne slnquiète pas de la répartition des pressions élémentaires sur la base des culées ; on se contente de considérer la question au point de vue de l'équiUbre, et voici comment :
La pression R transmise par la voûte au joint de rupture se décompose en deux forces, la poussée horizontale q, dont le moment de renversement par rapport à l'arête extrême de la culée est q, h et le poids p du massif superposé au joint de rupture ; ce dernier se compose avec le poids P de tout le massif inférieur au joint de rupture, et leur résultante F se trouve, par exemple, à une distance d de l'arête extrême de la culée, de sorte que son moment ^st Fd.
n suffirait pour Téqûilibre que l'on eût
Digiti
