CHAPITRE UL — THÉORIE I^ VOUTES
sion qui est la différentielle de la précédente, c'est-^-dire égale à
et son moment par rapport au point d est
la poussée totale Q étant égale à AV et«ppêiqiiàe4€ine distance Z au-dessous du même point d^ son moment doit élre égal à la somme des moments des poussées élémentaires, et il vient :
Z.AA«= rSA»«d»=|Aà» d'où Z=|a.
Ainsi la poussée Q est appliquée normalement à la paroi du mur et au tiers de la hauteur de cette paroi à partir de la base.
Le problème de la recherche de la poussée des terres est donc complètement résolu.
Faisons-en l'application à un exemple numérique.
Application de la théorie précédente. — Mur à parois verticales. — Figure 7» planche VI.
Considérons d*abord un mur à parois verticales de 12 mètres de hauteur. Il ^st construit avec de la maçonnerie dont )a densité ir = 2,200 kiLogiammes, et soutient une terre franche dont la densité est de 1,600 kilogr. et le talus naturel d'éboulement 45®.
Menons ce talus à të^^ ab^ «t la bissectrice {ac) de Tangîe qu'il fait avec la verticale.
Le prisme de plus grande poussée a pour section le triangle (ode); la poussée est donnée par l'équation :
Q=leA«tang»|,
la longueur (de) est égale à itang ^ ; mesurons-la avec le double décimètre sur
répure exécutée à Téchelte de ■^^^ nous la trouvoms égale i 5 mètres, son carré est donc égal à 25 et la pression
Q= i. 1600.25=20.000 kllog.
Elle est appliquée au tiers de la hauteur (ad)^ c'esi4*dire que son bras de le* pier par rapport à Tarète de rotation (e) est de i mètres.
Donc le momeat de renversement est égal à 80,000.
Appelons x la largeur du mur ; son poids est Tshx et son moment de résis-
tance irh -g-*
Pour Téquihbre, il suffira d'avoir (1) wA -3- = 80,000, ou a; = 2,45.
Hais, si le mur est simplement en équilibre, il ne s'y maintiendra pas parce
Digiti
que la résultante de toutes les pressions passera par l'arête de rotation et sortira de la base pour la moindre défoimation.
Si Ton veut assurer la stabilité, ii faut donc multiplier le premier membre de l'équation (1) par un coelficient plus ^rand que Tunilé.
La pratique a enseigné qu'il couvt nait de prendre ce coefficient égal à 2, et l'on a alors, pour déterminer Xy l'équation :
irA^siÔO.OOO «=:3-,50
D'une manière générale, la poussée Q étant donnée par ^ ^A*tang' ^ et son
bras de levier par =, l'épaisseur x d'un mur à parois verticales résultera de l'équation :
qui donne
tang -^'h
Admettant que a est égal à 45<», ce qui est vrai pour la terre ordinaire, on trouve
tang|= V^-l= 0.414,
et la formule précédente se transforme en
«ss0,3.A»
formule d'un emploi très-simple.
Tracé de la courbe des pressions. — Mais il ne suffit pas de s'assurer de la stabilité du massif considéré comme monolithe, il faut encore que dans aucune des assises de la maçonnerie le renversement, le glissement ou l'écrasement ne soient à craindre.
Avec les formes ordinaires, cela n'arrive pas en gpnéral ; mais, dès qu'on a recours à une forme spéciale, il convient d'examiner avec soin si la condition précédente est satisfaite, ce à quoi l'on arrive par l'étude de la courbe des pressions.
Proposons-nous de déterminer le point oii la courbe des pressions rencontre l'assise (gk) :
La pou>sée totale (q) exercée sur la hauteur (kd) de la paroi du mur, hauteur que nous désignerons para;, est donnée par une expression de la forme A^*; et elle est appliquée au-dessus du point (k) au tiers de la hauteur a. Ayant trouvé plus haut la poussée totale Q, égale à 20,000 kilog.» et correspondant à la hauteur A, nous aurons pour la valeur de q.
Digiti
(JÏÏAPITRE m. — THÉORIE DES VOUTES. 12!
les taleutis successives de q sont donc les abscisses d*une parabole ayant pour
axe l'horizontale (df). En donnant à r plusieurs valeurs simples, on construira
plusieurs points de la parabole cherchée, que Ton tracera ensuite d'un mouvement continu.
Grâ< e à cette parabole, on trouvera facilement en grandeur et en dirpclion la poussée qui sollicite le massif superposé à une assise quelconque, telle que oA:;
à cet effet, on prendra ki=^kd et 1 horizontale (il) représentera à Téchelle la
valeur de la poussée.
Composant cette poussée avec le poids de maçonnerie superposé à l'assise en question, et mesurée la même échelle, on obtiendra la résultante (mr) de toutes les forces sollicitant le massif, et le point 8 où cette résultante coupe 1 assise gk appartient à la courbe des pressions.
Cette courbe est donc bien facile à tracer par points; et il est facile aussi de vérifier par le calcul que c'est une parabole du second degré ayant pour axe la droite df, elle est donc tangente à la verticale.
Pour la stabilité deux conditions sont nécessaires :
i^ Aucune assise ne doit être coupée par la courbe des pressions sous un angle moindre que 35*, parce qu'alors un glissement se produirait.
2* La courbe des pressions doit toujours se tenir assez loin des arêtes pour ne pas déterminer sur ces arêtes des pressions éléinentaires capables de produire Técrasement. C'est au moyen des formules de répartition que nous avons données à propos des culées, que l'on reconnaîtra si cette dernière condition est remplie.
Vu la forme qu'affecte dans le cas actuel la courbe des pressions, c'est l'assise inférieure qui se trouve toujours dans les plus mauvaises conditions, et c'est sur elle qu'il suffit de vérifier les conditions de stabilité.
Il est facile de modifier le profil du mur de manière à faire passer la courbe des pressions au milieu de la base. Soit de point où elle rencontre cette base, on prendra de chaque côté une longueur égale à la demi-épaisseur du mur, et l'on joindra les points ainsi obtenus au milieu des verticales ad,ef; les lignes pointi liées représenteront les nouvelles parois du mur, dont le centre de gravité et le poids n'auront pas changé.
La cou(be des pressions se confondra alors sensiblement avec la médiane du mur, et dans chaque assise la pression sera uniforme.
On conçoit bien du reste que cette disposition doit être avantageuse à la stabilité; car elle a pour effet d'augmenter le bras de levier du poids résistant.
Elle permettra donc dans une certaine mesure de réduire le cube de maçonnerie employée, si Ton se contente toujours du nombre 2 pour coefficient de stabilité.
Cependant il ne faudrait pas aller trop loin dans ce sens et donner à la paroi intérieure du mur une inclinaison trop forte; il faut toujours s'arranger de manière que le centre de gravité du mur tombe à l'intérieur de sa base, car il peut arriver que les terres placées derrière ne soient point adhérentes et n'exercent pas de poussée; alors, le mur, soumis à son seul poids, risquerait de se fendre horizontalement.
Mur à section triangulaire, — On comprend sans peine que la forme rectangulaire ne convient pas pour la section verticale d un mur de soutènement; en effet, les poussées, d'abord nulles, croissent très-rapidement avec la pro-
Digiti
fondear, donc les épaisseurs de maçonnerie doivent croître aussi avec ia profondeur.
Proposons-nous donc d'adopter par exemple une section triangulaire et soit x la largeur qu'il convient de dviimer à la base {au) en adoptant toujours le nom* bre 2 pour coefficient de stabilité (figure 8, planche VI),
Le moment de la poussée est
^ ih^XMD^ î*
ia surface du triangle est ^ A:b>
et son moment par rapport à Tarète u s*écrit
