COS
La condition d'équilibre sera la même si l'anneau est remplacé par ta nœud ; le cordon OC se placera suivant la bissectrice de l'angle AOB.
Polygone funiculaire. — Considérons un cordon soumis à l'action d'un cer^ tain nombre de forces placées en divers points de sa longueur; pour qu'il y ait équilibre, il faut que le cordon ne soit soumis qu'à des tractions suivant son axe ; c'est-à-dire que les portions de ce cordon placées entre les points d'application de deux forces successives, seront rectilignes. Le cordon prendra donc une forme polygonale; à chaque sommet du polygone sera appliquée une force extérieure, et l'on doit considérer chaque sommet comme un centre d'articulation, puisque le cordon est censé posséder une flexibilité absolue.
Les extrémités A« À m du cordon sont iirées quelque part; on peut les supposer libres, pourvu qu'on remplace les réactions des appuis par les tensions <• et t n (fig. 3).
Aux sommets A^ A„..., A n du polygone agissent des force! p i% ft,».», p n . SAÏm considère le sommet A^ l'équilibre s'y établit entre les deux tensions * et t t et U force Pi ; donc la tension t t est la diagonale du parallélogramme construit sur t t etp t ; de même, la tension ^ est la diagonale du parallélogramme construit i; sur t t et p„ la tension t n est la diagonale du parallélogramme construit sut *»-i et IV..; enfin, la tension t m ou réaction de l'appui extrême est la diagonale du parallélogramme construit sur t m ^ i et p m .
Polygone de Varignon. — Les conditions d'équilibre du polygone funiculaire peuvent se mettre sous une forme graphique très-simple, au moyen du polygone de Varignon, dont voici la construction :
Par un point fixe (fig. 4), menons une parallèle^ à la réaction de l'appui
CHÀPITBB 7.— F8N1S SUSPENDUS. *»
A», at, fr Ee atr ê M i C fe Se tt* -droite iafasi ^Dbtenae, vne'parnllâle'ft te force p, qui sollicite le premier sommet A t du polygone funiculaire *, 'prenons *sur'oetfe parriliMeometloD^uetir précisément égale à p t ,la ligne joignant 1e point à l'extrémité lie cette knigusurreprèseirtera en grandeur et en direction la tension^-du-second *oêtè du tpdygene fimkratwre. 'Par T extrémité de t l9 menons une Hgneëgrfle*et paraflUfteâmet jaignons^, nom aurons In twrsion t, dm trmstème côfé du -polygone tomicuèaipe *t ainsi -desafte, jtrsquli x& que, jmgwant te ponrt *0 a l'extrémité de la dernière force extérieure p m , nons ayons obtenu la réaction Ae fapfmimtréint. ffoasauroRscenrtmiit'ie la sorte impalygane f0ffl>ip r ..pj> dont les côtés sont égaax «tf«ra?18lesirtcRft6B lesforasextérîeares sollicitant le utpdtn, left^éadlwiisMfes^pjpfBS 'devant tonjoars êlre*mes ausiembredes forces wtéiienres au alterne.
Les diagonales de ce même polygone, menées «do commet '0, repaéseirtent en gnandaurtrt ea dirertiondee tensions des 4cdtès suoewsffs «du polygone latricufaire.
Le polygone de Vwrignon nons indiqwnque le cordon aéra 'an équilibre <si :
!• Le poèygana (ViPt—J 1 *-^*) *«a (ferme de iui-mème, c'esW-dire si Peitrémitè de la dernière fotca -extérieure t m tatdbe çiiéciaénietft aa paktt 'de *départO-,
f° lesidiagonates «ômaaftea du point aodt ptnwtMètes aux<cé£s<saG0essife'àa <p&tTgane ïuwknlaiTe ;
3° Chaque oStédufolyganatariaulaiae^t capafWe de«êsisleri latearion a laquelle il *st soumis.
Ôant4onaé im couda*, wnct dewpaRfts ttxes eatiBua déposition, aaee totftes les fotoee catârieares pf-Pn-i ^ttonaent ceraoes, âl faudra Jour adjoindre, avons-naus «dit, les réaction* 4 a^nies poûftsikes; «cas réaettane se déterarineaont en écrivant ^que toutes -tes loroes extérieures aru système sont«n<équ8ibre. Prenant pour inconnues lesjsomposanrtes dea réactions % et t m aufoatft la ligne des poiaefas fixes at suivant la peipendicufeMre -à «cette ligne, nous aarens'fnatre >maonnues dotft des valeurs seront (fonrnies par I|uati»e'équa(ion6,«av0ir^
Deux équations de projection;
ieai équations des moment 6 pris par rapport aux deuxpcSrtls fixes.
iyavA calculé les Téa**kwis dis aïeux points fixes, on >aura Ions les déments néseasairesA latcaastruotso& 4u pedygonede Varigoon.
rHÉORIE DES PONTS SUSPENDUS.
La composition des poifta <saspendns «stades plus «mplesi nnttfbtrer, orimai- Tement an charpente it sensiblement feorKontël tm tout an moins à 'conrlmre légère, est suspendu à J'amont et à 'l'aval, «a moyen de tiges verticales éqaidistantes, à un câble ou à un faisceau de câbles.
«Le tablier est *catctrlé en vue de résister à une -surcharge trnîforme -de 200 kilogrammes par millimètre carré ; comme le poids du tablier est tmâforme, on idmet que les câbles sont soumis à une charge uniformément distribuée suivant l'horizontale et égale à p.par mètre courant, t/ette supposition n'est pas conforme à la réalité, car à cause de la courbure des câbles et de la courbure inverse du jibèier, 4a longueur des tiges va «n «croissant depuis 4emifieu 4a pont jusqu'aux culées, et il en est de même de leur poids; mais ce poids est, an général, assea
faible relativement au poids du tablier et on néglige l'influence de la variation en adoptant pour les tiges un poids moyen.
On a deux côtés consécutifs OA, OB du polygone funiculaire (fig. 5), leurs tensions sont t et t t et ils font avec l'horizontale des angles « et |3. Au sommet est suspendu un poids p et le point doit être considéré comme un centre d'articulation, puisque le câble possède une flexibilité absolue. Le poids p doit être égal et directement opposé à la diagonale du parallélogramme construit sur t et V. par suite :
1° La somme des projections horizontales de* et de t t doit être nulle, et comme ces projections sont directement opposées, elles sont égales;
2° La somme des projections verticales des tensions des deux côtés adjacents est égale au poids p. On peut donc faire deux parts de ce poids : Tune p t est équilibrée par (t sin a) et l'autre p, par (t L sin |3).
Supposez maintenant que les deux côtés OA et OB soient réunis par un côté horizontal OO t (figure 6) ; rien ne sera changé à l'équilibre, pourvu que la tension Q de ce côté horizontal soit égale à Tune ou à l'autre des projections horizontales de t et de t i9 et pourvu que l'on suspende en le poids p t et en O t le poids/),, la somme p t -+-/>, étant toujours égale à p.
Ces préliminaires posés, considérons un demi-polygone funiculaire dont kx est le côté horizontal et la verticale ky l'axe de symétrie ; le point A étant le milieu du côté horizontal (figure 7). Soit Q la tension de ce côté horizontal, PdPi>Ps» l es Poids suspendus aux sommets successifs ; p t est la diagonale du parallélogramme construit sur Q et t t ; donc t l9 est connu ; connaissant t i9 on sait que p t est la diagonale du parallélogramme construit sur t t et £,, donc cette tension t t est connue, et, ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive au côté supérieur du polygone, dont la tension est égale à la réaction du point d* attache.
Les constructions précédentes, quoique très-simples, se simplifient bien davantage en ayant recours au polygone de Varignon.
Portons sur une horizontale à une échelle déterminée une longueur OA (figure 8) mesurant la tension Q du côté horizontal ; élevons la verticale AB et portons sur cette verticale des longueurs successives mesurant Pipjp*. La tension t v résultante de Q et de p it est donnée en grandeur et en direction par la droite O/v, la tension t % , résultante de t t et de p v est donnée en grandeur et en direction par la droite Op t , et ainsi de suite ; finalement, la tension t m sur point d'attache est représentée en grandeur et en direction par la droite Op^
Mais t t peut se considérer comme la résultante de OA et de Ap„ t, comme la résultante de OA et Ap„ et ainsi de suite, de sorte qu'on peut poser les relations suivantes :
1° La composante horizontale de la tension d'un côté quelconque est constante ?t égale à Q, c'est-à-dire à la tension du côté horizontal ;
2° La composante verticale de la tension d'un côté quelconque est égale à la somme des poids suspendus depuis le point le plus bas jusqu'au sommet où le côté commence ;
3° La tension des côtés augmente à mesure qu'on s'élève sur l'horizon ; on a par exemple
sin«
ce qui indique que la tension croît proportionnellement à la sécante de l'inclinaison du côté sur l'horizon.
CliAPirRE V. — PONTS SUSPENDUS. 251
Application aux ponts suspendus a tiges équidistantes. — - Comme 110US
le disions plus haut, les tiges de suspension rattachant le tablier aux câbles sont équidistantes et peuvent être considérées comme chargées de poids égaux p. Il n'y aura rien à changer aux constructions précédentes, si ce n'est que tous les poids p^ deviendront égaux. Hais le calcul va nous apprendre quelques particularités intéressantes sur le profil qu'affecte alors le câble.
Un côté quelconque C„ du polygone funiculaire, côté dont les projections horizontale et verticale sont h u et v n , est parallèle à la tension t n du polygone de farignon, tension dont les composantes horizontale et verticale sont Q et la somme
Donc, ayant construit le polygone de Varignon (figure 8), pour obtenir la longueur du côté C, par exemple, on prendra sur l'horizontale une longueur OM égale à la projection horizontale h t de ce côté, on élèvera par le point M une verticale qui rencontre la tension t t en un point C,, et la longueur OC, est celle du second côté du polygone funiculaire. On a, par les triangles semblables, la relation :
ou, d'une manière générale,
Dans la pratique, les tiges de suspension sont équidistantes et, par suite, les projections horizontales h n des côtés sont égales ; désignons par h leur valeur commune, et prenons pour origine des coordonnées (figure 9) non plus le milieu A, mais l'extrémité de gauche du côté horizontal du câble ; Ox et Oy sont les axes de coordonnées ; l'abscisse x du quatrième sommet A 4 est égale à 4ft et son ordonnée y est égale à (v t -+- v % -+- u 8 ). D'une manière générale, on a :
x=nh, y=» l +» f ...-h»»-i=Q(Pi+Pi...+P»-i)-
Or, tous les poids suspendus sont égaux entre eux et mesurés parp, de sorte qu'on a tout simplement
p»=*/>; donc les équations précédentes deviennent :
#=ltA, y=^(1+2 + 3...+(fl-l)).
( Tt — ■■ 4 \yl
La somme des (n — i) premiers nombres entiers est égale à - — $-*—* ce qui transforme les équations précédentes en
Le poids p est le poids d'une longueur h de tablier, et, si on désigne par v le
m EOtfTS BT. VIADUCS*
poids du* Mitra. cornant, d* tûhlieu* avança
Élimtnont la> rariabte (n)t «ntuc las équation, ioaa trouTOiwnsL la itUtibs; générale qui lie les quantités ate* 3, e'eat-àwiiret ré^aaÉnnt de lfeombe pjeusr partante sommets diapql^Bona&iniculaipgip «te âfpatÎM est
et, si l'on reporte l'origine au milieu A du cété horizontal, il suffit de remplacer
(Test une parabole dont Taie est la verticale passant au point A, c'est-à-dka, au milieu du câble.
Il est facile, du reste, de montrer directement que le lieu des sommets du polygone funiculaire est une parabole: supposons que le polygone ait un nombre infini décotes, c'est-à-dire qu'en chaque point du câble soi* appliqué un> poids constant ic.dx. Nous pouvons considérer le câble comme coupé en A et A g (figure 10), pourvu que nous appliquions en ces sections les réactions Q et T, qui s'ajouteront aux forces extérieures dont la résultante est irx, placée au milieu dHaprojèalienihorizont&fe AA„. Efcprmwmfcçie 1 te eftblè est en équilibre sous Faction dfe- toute» les 1 fèwes extérieures qui lfrsoWiefteart, nous traitons
équation qui représente une parabole tangente à l'axer des x et ayant pour axe l'axe des y.
Détermination de* ftt pornssév Kmmmtofe etdèlfr tension an point d'attache. — Les données de la construction (figure 11) sont l'ouverture AB ou 2/, et la flfeheilG ou fr ekUQBL as propos* du dàtenaintcla tenriai borâoatek $ et. h tension T au point d'attache A.
Remarquant que pour x = /, y = /" et,, portant ces quantités soit dans Téquaiion (1), soit dans l'équation (2), il vient
Si on se sert de l'équation (1), on néglige le terme en ( -r- ) , dont l'influence rela-
tfae est très-faible.
La tension T a pour composante verticale le demÎT-paidàîii dôila tca¥éfi.ei pour composante horizontale la quantité Q que nous venons de déterminer, Jonc
