CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

cherons seulement les pressions qui régnent dans les sections transversales;

Les deux sections transversales voisines, gh et kl, primitivement parallèles, ne le sont plus après la flexion, puisque .toutes deux, g l h t et kj„ sont normales à la fibre supérieure (ac) ; elles vont se couper suivant une droite projetée en 0.

D'après cela, il est clair que l'intervalle kg a augmenté, tandis que ht a diminué : il y a donc eu extension des fibres à la partie supérieure, contraction à la ' 1 partie inférieure. L'extension est maxitna pour la fibre supérieure (oc) et va en diminuant à mesure que l'on descend; de même, la compression est maxirna pour la fibre inférieure bd et va eu diminuant à. mesure qu'on s'élève. Les efforts les plus grands s'exercent donc sur la fibre supérieure et sur la fibre inférieure.

Puisque l'une est étirée et l'autre comprimée, il doit y avoir dans la partie centrale un élément de fibre pour laquelle on passe de l'extension à la compression, et qui lui n'est soumis à aucun effort : l'ensemble de ces éléments constitue ce qu'on appelle La fibre ou mieux l'axe neutre.

Revenons à nos deux sections voisines, gh et kl, qui, après la flexion, sont en j,ft t et kJi : la section A,/, rencontre l'axe neutre en s ; par le point > menons une parallèle tv à 9,4,. Le triangle te^, correspondra à l'allongement des fibres situées au-dessus de l'axe neutre et parallèles à la base tk, du triangle; le triangle usi, correspondra au contraire au raccourcissement des libres situées au-dessous de l'axe neutre et parallèles à la base vl s du triangle.

Considérons une fibre xy située à une dislance (d) de l'axe neutre, et appelons x sa tension, elle est proportionnelle à l'allongement xy de cette fibre. La tension maxima existe sur la fibre extrême tk„ appelons R la valeur que cette tension ne doit pas dépasser, valeur qui dépend du coefficient de sécurité que l'on adopte, et sup- '*'

posons que la tension en tk soit précisément égale à R.

Vu la proportionnalité des allongements aux pressions, on aura :

S tk, D" '

Telle est la valeur de la tension à la distance d de l'axe neutre; appliquée à un élément du de section transversale, celte tension sera -rrdu, et son moment par rapport à la perpendiculaire en S au plan de la figure sera

Au lieu d'une fibre tendue, si nous avons une fibre comprimée, elle sera comprise dans le triangle I,*»; admettons que la résistance à l'extension est la même que la résistance à * compression, ce qui s'écarte peu de la vérité pour le fer, le triangle sx'y' étant semblable au triangle stk u nous trouverons encore

et le moment de la compression af par rapport à la normale en $ au plan de la figure sera doqné par

{• Toutes les forces moléculaires agissant dans la section doivent se réduire à un couple équivalent au moment d'élasticité de la pièce. La somme algébrique de toutes ces forces parallèles doit donc être nulle, ce qui conduit à la relation

£-~<fa=s0 ou l(d.dcà) = 0.

Cette relation indique simplement que le centre de gravité de la section est au point s, c'est-à-dire sur Taxe neutre. Ainsi Taxe neutre est le lieu des centres de gravité des sections transversales de la pièce droite.

2° La somme des moments des forces moléculaires qui agissent dans la section Ik sera

g id*.d».

La quantité KPdu n'est autre que le moment d'inertie de la section transversale du prisme par rapport à Taxe S contenu dans son plan. D'ordinaire, on désigne par I ce moment d'inertie.

RI

Le moment de résistance de la pièce dans la section kl est donc égal à j- ; cette

section doit résister aux forces extérieures qui agisent entre elle et l'extrémité libre de la pièce. Son moment de résistance doit donc être égal au moment des forces extérieures, pris par rapport au même axe.

Dans le cas qui nous occupe, si nous négligeons le poids de la pièce elle-même, les forces extérieures se réduisent au poids P, appliqué à l'extrémité libre cd, et leur moment est égal au produit de P par la distance (l) qui sépare'la section kl de l'extrémité libre.

L'équation d'équilibre se réduira donc à

D ri

Par cette équation nous pourrons : 1° connaissant la forme et les dimensions de la pièce prismatique, déterminer le poids P qu'il est permis de lui faire supporter à son extrémité libre ; 2° ou bien, connaissant le poids P qu'il s'agit de supporter, déterminer le moment d'inertie I de la section transversale de la pièce ; le problème est alors indéterminé, car il est évident qu'il existe une infinité de sections possédant le même moment d'inertie.

Des «oildes d'égal© résistance. — Dans les pièces à section transversale symétrique (rectangulaire, circulaire, ou en double T), Taxe neutre se confond avec la fibre axiale : la plus grande distance D, qui sépare une fibre

de l'axe neutre, est alors égale à la moitié ~ de la hauteur de la pièce, et l'équation d'équilibre, que nous venons d'écrire plus haut, devient

— =P./., doù r =-5t—

La valeur de R déterminée par cette formule pour chaque section transversale donne l'effort maximum qui s'exerce dans cette section*