CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Si la section transversale est constante, on voit que la tension maxima R variera proportionnellement à /; elle sera nulle à l'extrémité libre de la pièce et. maxima près de lYncastremeiit.
La section devra évidemment être telle qu'elle puisse résistera l'effort maximum près de l'encastrement, mais alors elle sera beaucoup trop forte sur le reste de la longueur, et le travail du métal sera fort mal utilisé.
C'est cette remarque qui a donné l'idée de recourir aux formes qu'on appelle solides d'égale résistance, et qui sont telles que l'effort maximum R est constant dans toutes les sections transversales.
1° Prenons comme premier exemple une pièce encastrée en (ab) et à section transversale rectangulaire de largeur constai t ; mais de hauteur variable, et proposons-nous de déterminer la courbe (bde) de telle sorte que la tension maxima R soit la même dans toutes les sections.
La section transversale faite par le plan (cd), est un rectangle (mnpq), dont la largeur (a) est la largeur constante de la pièce et dont la hauteur est y ; cette
Fig. 4.
section est à une distance x de r&isrémité de la poutre, et cette distance est le bras de levier de la force extérieure P qui sollicite la pièce. L'effort maximum R dans cette section (cd) est donné par l'équation
1 moment d'inertie d'un rectangle par rapport à son axe est égal à — ay*.
La valeur de R devient alors
Cette valeur de R doit être constante, quelle que soit la section ; on a donc entre les deux variables x et y la relation
R.a.y* = 6Pur.
Hais, les quantités x et y sont les coordonnées du point il par rapport aux axes rectangulaires (ea) et (eP). L'équation (i) représente donc la courbe inférieure du solide ; c'est une parabole du second degré qui a pour axe l'horizontale (ea).
2° Nous pouvons réaliser le so ide d'égale résistance d une autre manière encore, en adoptant pour la poutre une hauteur consUuUe h au lieu de y et une
1S POflTS ET VUDBCS.
largeur variable y au lieu de (a) : l'équation (1) se modifie comme il suit
Ry.A* = 6Px,
ce qui signifie que le rapport - est constant, c'est-à-dire qu'en plan, la pièce de
ce
Fig.5.
hauteur constante est effilée en triangle isocèle dont la base esta l'encastrement et la pointe à l'extrémité de la poutre.
3° Enfin, nous pouvons encore chercher une autre forme de solide d'égale r«* sistance, en nous imposant la condition que toutes les sections rectangulaires
mm*r~-*mrwmr»
Fig. 6.
transversales soient semblables, c'est-à-dire que le rapport de leurt deux dimensions soit constant.
A l'équation:
il faut joindre la relation de similitude
2 = JL
Éliminant y entre les équations (i) et (2), nous trouvons :
S'est le profil de la pièce en plan : ce profil est une parabole du 5? degré ayant pour axe le milieu (mn) de la pièce.
