CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Si nous désignons par S la section transversale considérée, et par R l'effort tranchant que la pièce supportera par unité de surface, on aura :

De cette équation, on déduit immédiatement la valeur de R, et Ton voit si cette valeur est inférieure au maximum que l'expérience a indiqué comme ne devant pas être dépassé.

Le fer est la substance que Ton rencontre le plus souvent dans la pratique; ainsi que nous l'avons dit, on ne doit le faire travailler d'aucune manière à plus de 6 kilogrammes par millimètre carre, soit à 6,4)<S0,#O0 kilogrammes par mètre carré.

Suivant l'unité de surface adoptée, l'équation (i) devra donc fournir pour R une valeur au plus égale à 6 ou 6,000,000.

Nous engageons le lecteur à choisir dans ses calculs pour unité de surface le centimètre carré ou le millimétré carré de préférence au mètre carré : les calculs sont de la sorte notablement simplifiés au point de vue du nombre des chiffres. Lorsqu'il s'agit de métaux, le millimètre carré est encore ce qu'il y a de plus simple. Lorsqu'il s'agit de bois, le millimètre carré ne donne guère que des nombres décimaux, de sorte que, pour mettre tout d'accord et avoir toujours des numbres entiers, il serait peut-être préférable de choisir pour unité le centimètre carré.

La stabilité de chaque section étant vérifiée au point de vue du cisaillement, reste à la vérifier en ce qui touche la flexion.

La section étant symétrique et ayant pour hauteur h, considérant, comme nous lavons fait jusqu'à présent, que l'axe neutre coïncide avec la fibre axiale, le moment de résistance d'une section dont I est le moment d'inertie est représenté

2U1 par —r- ; ce moment de résistance doit faire équilibre au moment X des forces

extérieures comprfses entre la section considérée et l'extrémité de la pièce. Par suite, l'équation d'équilibre s'écrit :

~î=X t d'où l'on tire : R=* ~.

L'inconnue R résulte de cette équation, et l'on aéra /certain de la stabilité** point de vue de la flexion, si la valeur de R ainsi trouvée est inférieure à 6 kilogrammes, le millimètre étant choisi peur unité ou à 6,000,000 kilogrammes, m c'est le mètre qu'on a conservé pour «mité.

S'il s'agit d une pièce à section irrégulière, les vérifications précédentes de* ypant être faites pour toutes les sections; triais e'est un -cas qui ne se présente jamais dans la pratique. On rencontre soit des solides d'égale résistance, dans lesquelles on sait que la tension est la même dans toutes les sections, soit, le plus souvent, des pièces à section constante.

11 suffit donc de vérifier la stabilité pour la section dans laquelle les efforts sont les plus grands ; nous avons déterminé dans les paragraphes précédents la position des sections soumises aux plus grands efforts; par suite, elles sont cour nues, et l'on n'a qu'à leur appliquer les deux équations :

et à voir si les valeurs de R qu'on en lire sont inférieures au nombre que la pratique indique comme limite de sécurité.

Les vérifications précédentes ont été très-simples, parce que nous avons admis que les pièces résistaient également bien à la tension et à la compression, et que la limite R était la même pour ces deux genres d'efforts. Ce n'est pas absolument vrai; cependant, pour le fer, l'hypothèse est parfaitement fondée, et la différence est trop faible pour qu'on en tienne compte dans des calculs qui ne sont eux-mêmes que des approximations.

CALCUL D'UNE PIÈCB DEVANT RÉSISTER A UNB CHARGE DONNÉB.

Le calcul d'une pièce devant résister à une charge donnée est, en général, un problème indéterminé, car, on conçoit tout d'abord, que bien des pièces de formes différentes peuvent résister à des efforts donnés.

De plus, il y a toujours quelque chose d'inconnu dans la question, c'est le poids môme de la pièce qui intervient pour augmenter les charges extérieures. Lorsqu'il est faible relativement aux autres forces, on n'en tient pas compte. On peut, si Ton veut, en tenir compte par ce qu'on appelle la règle des fausses positions : on commence par calculer la pièce en négligeant son poids, des dimensions ainsi calculées on déduit le poids, on recommence les calculs en l'y introduisant, de ces nouveaux calculs on déduit de nouvelles dimensions, et par suite un second poids plus fort que le précédent, on recommence encore les calculs avec ce second poids, et on en déduit un nouveau poids plus rapproché, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait trouvé deux résultats consécutifs assez concordants.

Mais l'opération est longue et pénible, et l'on n'a pas besoin de tant d'approximation dans la pratique : presque toujours, on peut conclure de l'expérience quel sera sensiblement le poids de la pièce, et c'est avec ce poids de convention que l'on opère.

Quoi qu'il en soit , revenons à la détermination de la forme de notre pièce : supposons qu'il s'agisse d'une pièce à section symétrique, comme celles dont nous avons plus haut déterminé la résistance dans divers cas, nous saurons dans quelles sections s'exercent le plus grand effort tranchant P, et le plus grand moment X des forces extérieures; connaissant en outre le plus grand effort R de cisaillement, d'extension ou de compression, que l'on ne doit jamais dépasser si Ton veut rester dans les règles de la stabilité (nous supposons que la valeur de R est la môme dans les trois genres d'effoi ts, ce qui est à peu près vrai pour le fer, mais est faux pour les autres substances), et, désignant par S la section transversale de la pièce, on aura pour déterminer celte section S les deux équations :

Pour employer le moins de matière possible, il est évident que l'on suppose le maximum R réalisé ; c'est pourquoi l'on transforme en équations les expressions (1) et (2) qu'il suffirait, au point de vue seul de la stabilité, de considérer comme des inégalités.

Choisissons une pièce de section rectangulaire, de largeur (a) et de hauteur h,

CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 29 „..,.,. 1 .

Les^n^ôî^s

et (2) s'écriront : // X

ah flA 5 ah*

Faisons P= 10,000 kilogrammes, X = 50,000 kilogrammes ; la tension ft qtf on ne doit pas dépasser est, ainsi que nous l'avons vu, de 6,000,000 de kilogrammes. D'où résultent les équations numériques :

n\ . iO.OOO 1 ... .« 6 X 500.000 5

1 ' 6.000.000"" 600' W 6.000.000 ""iÔÔ*

Divisant (4) par (3), il vient:

luo , o,)0"" w •

donc la hauteur h du rectangle est égale à 30 mètres, et sa largeur (a) est égale à

= r^:=O-.O0OO55.

Ces résultats sont évidemment absurdes, et personne ne fera jamais une poutre dont la section transversale aura 30 mètres de haut sur un demi-millimètre de largeur.

Ceci nous apprend qu'il ne faut pas vouloir satisfaire à la fois aux deux équations (1) et (2) qui ont trait, la première au cisaillement, et la seconde à la flexion ; celle-ci est de beaucoup la plus importante, nous la prendrons donc toute seule, nous déterminerons par elle les dimensions de la pièce, et nous

verrons ensuite si ces dimensions vérifient non plus l'équation (1), mais tout

p simplement l'inégalité * < 6,000,000. Cela suffit évidemment pour être certain de la stabilité.

Opérons donc sur l'équation :

KV «'* 100

Il est évident que la solution est indéterminée puisqu'on a une équation pour deux inconnues (a) et (h).

Hais il arrive presque toujours que Tune des dimensions, par exemple la hauteur est, vu les nécessités de la construction, forcément comprise entre certaines limites, et que Ton peut la déterminer à l'avance ; la largeur (a) résulte alors de l'équation (4).

Ainsi, lorsqu'il s'agit d'une poutre en fer, on admet que, pour la bonne utilisation du métal, il convient d'adopter pour la hauteur le -fc de la portée. Si dans le cas qui nous occupa, la portée de la pièce e>t de 15 mètres, sa hauteur devra être i m ,5Q, et par suite sa largeur (a) sera donnée par l'équation :

30 TONTS ET VIADUCS.

La pièce aura donc une hauteur de l m ,50 et une largeur de 0",022 t ce qui est

admissible.

P Sa section sera 1,5x0,022 ou 0, œ< «,033; la quantité * deviendra

lo.oo o^ io ooo. oo

ce qui e:t bien au-dessous du maximum R qui est de 6,000,U00; la résistance au cisaillement sera bien plus que satisfaite, la résistance à la flexion ne lésera que tour juste.

Au point de vue du cisaillement, la résistance de la pièce ne dépend que de la valeur absolue de sa section transversale ; mais, au point de vue de la flexion, Taire de la section a peu d'influence, c'est surtout de la formé qu'il faut tenir compte.

A défaut de calcul, l'expérience de tous les jours nous l'apprend ; tout le rtxttde sait, par exemple, qu'une planche mince fléchit bien plus facilement lorsqu'on la pose à plat que lorsqu'on cherche à la plier posée de champ.

Mais un calcul simple va nous renseigner plus complètement à ce sujet :

L'équation d'équilibre pour la flexion est

le moment X des forces extérieures étant constant, on se propose de déterminer le rapport -s de telle sorte que R soit minimum. 11 faut donc trouver le minimum de -r ou le maximum de y, et à ce maximum correspondra la tension rainima, ou la résistance maxima de la pièce. Cherchons dans trois cas simples les variations de ce rapport r : i° Soit une pièce à section rectangulaire. L'aire S de cette section est égale à ah et son moment d'inertie I à j^- a/i s , ou bien j^r SA* ; le rapport t se met

donc sous la forme t^ Sh, et l'on voit que ce rapport n'est point constant en

même temps que la section S de la pièce ; il varie proportionnellement à A et croît indéfiniment avec cette hauteur.

Théoriquement, la pièce la plus résistante serait celle qui aurait une hauteur infinie, et par conséquent une largeur nulle : la véritable signification de ce résultat est qu'il faut toujours placer de champ le6 pièces rectangulaires et leur donner une forme aussi aplatie que possible.

Pour les pièces de bois, on ne peut pas aller très-loin (Jans cette voie, car on s'exposerait au flambage, et leur largeur est d'ordinaire les -^ de leur hauteur*

Four les pièces métalliques, le flambage est moins à craindre, et le rapport de la largeur à la hauteur est souvent très-faible.

2 # Soit une pièce à section elliptique dont (a) et (h) sont les axes; la surface

irûll 11 I

est -y» le moment d'inertie est ^ *ah* ou jg Sh*. Le rapport r devient donc

k sh -

Les résultats sont les mêmes que tout à l'heure ; à section constante, la résis-