CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

c'est-à-dire que la poussée est la même sur chaque appui. II suffit donc de déterminer Q.

Cette poussée horizontale est donnée par la formule :

dans laquelle : A = 5 (sin* y — sin* B) ■+■ cos y (cos 4- 6 gin $ — cos y — y sin y)

B = y •+■ 2y cos f ? — 3 sin y cos y

r est le rayon de gyration de la section de l'arc, c'est-à-dire le quotient du moment d'inertie de cette section par son aire ; le moment d'inertie étant pris toujours par rapport à l'horizontale passant par la fibre moyenne, c'est-à-dire par le centre de gravité de la sectionnes coefficients X et X' résultent des équations :

sin* y (sin* y — sin* 6) ^ s»n* 9 (y ■+• sin y cos y)

Si l'on remarque que r est inférieur à la demi-hauteur de la pièce courbe* on reconnaît que le rapport ( - j est très-petit ; ainsi

Au viaduc de Tarascon, le rapport (*) est égal à. . . . 0,000534

Au pont du Carrousel 0,000106

Au viaduc de Nevers 0,000356

Donc, on pourrait, à la rigueur, admettre pour la valeur de Q l'égalité

(2) Q=nJ,

et M. Bresse donne à la fin de son traité des tables d'où Ton déduit immédiate ment le rapport (^J.

A défaut de ces tables, on peut à la rigueur calculer directement les quantités A et B en se servant d'une table de logarithmes, et mieux encore de la table des sinus et cosinus naturels.

Si on cherche à faire subir à la formule (2) les corrections relatives à > et V,

on reconnaît que le maximum absolu de X est égal au nombre 3 ; si on se

r* reporte aux valeurs données plus haut pour -, , on voit immédiatement qu'en

supprimant le terme en \ on commettra une erreur qui, dans la pratique, n'atteindra jamais 0,001 ; ainsi, il n'y a pas besoin de s'occuper du terme en >, Quant à la correction relative à X', elle peut prendre une valeur notable; M. Bresse démontre que Ton peut sans erreur sensible admettre la relation

le terme correctif est alors indépendant de 6 dans un arc à section constante. La correction relative à X est, avons-nous dit, assez importante : en effet, avec un arc surbaissé au ^-, ce qui correspond à

le terme correctif que fournit l'équation (3) est à peu près égal à f ; en se servant Je la formule (2) pour déterminer la poussée Q dans ce cas, on commettrai 1 donc une erreur de 33 pour 100. Un tel surbaissement n'est guère usité dans la pratique; si l'on prend un surbaissement de ^V ou de| avec un rapport

on ne trouve plus pour la valeur du terme correctif (3) que les nombres ^ et

Dans tous les cas, il sera prudent de calculer ce terme correctif (3) pour reconnaître s'il y a lieu d'en tenir compte.

2° Poussée due aune dilatation. L'arc étant posé sur ses appuis et calé de telle sorte que la corde ne puisse augmenter de longueur, les variations de température qui tendent à allonger ou à raccourcir la fibre neutre, ont une grande influence sor la valeur de la poussée.

Ainsi une dilatation totale égale à t, par mètre courant de longueur, développe une poussée que permet de calculer la formule :

W Q=zre 'â* F*'

formule dans laquelle,

(e) est le ressort longitudinal de l'arc, c'est-à-dire 2E.*>, ou tout simplement Eu, produit du coefficient d'élasticité par l'aire de la section transversale;

t est la dilatation totale que lare peut subir par mètr' courant ; d'après Dulong et Petit, le coefficient de dilatation du fer est de G,<J00011831; la pose de l'arc étant faite à la température moyenne, soit à 15°, la variation totale de la température après le calage ne dépassera guère 25°, d'où résulte une dilatation totale maxima de 25 fois le coefficient de dilatation, soit de 0,0003; M. Bresse admet même pour la valeur de t à substituer dans la formule (4) le nombre 0,0004 ;

y est le coefficient dont nous avons donné la valeur approchée au paragraphe précédent,

F est déterminé par la formule

F== 2sin*p

y -+- 2 f cos* <p — 3 sin f cos?

Au lieu de la formule (4), on peut se contenter delà formule

xer*

dans laquelle les lettres ont les significations précédemment définies.