CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Z
la projection du poids uniforme p régnant sur BH est ^ \ l / .
j>.BH. sin«;
mais
DQ = DR — Kn = a-GD = a-pdn«.
On a donc, par les projections, l'équation
(il) I!=— Qcos «—;>/> sin f «.
Le moment de Q par rapport au point D est
-Q.DH=— Q(OG-OK)=-ty(cos«— cotf) Le moment de la réaction verticale (pa) est
pa.BU = pa. (BK — KH) =pa p (sin ? — sin a) =pf sin f (sin f — tin «) ;
le moment des poids p répartis sur BH est
— p.m. ~y = — | p* (sin f» — tin *)*, en faisant la somme de ces trois moments, on trouve ;
(12) l = zpp*[sm*f — sin*(K)—Qp(cosa — co$f)
La pression totale N répartie sur la surface û de la section de l'arc, donne par une unité de surface une pression
Quant au moment X, il produit d'un côté de la fibre neutre des compressions, et de l'autre des tensions; le maximum de ces efforts est sur la fibre la plus éloignée de Taxe, et ce maximum est égal, d'après la formule générale démontrée en tète de ce chapitre» à
la lettre I désignant le moment d'inertie de la section, par rapport à Taxe horizontal passant par la fibre neutre.
L'effort maximum total résulte donc de la somme
à une extrémité de la section il faut faire 5 positif et à l'autre négatif , de
sorte que le second terme peut s'ajouter au premier ou s'en retrancher; comme c'est la valeur absolue de la tension qui seule nous inquiète, nous prendrons devant le second terme un signe tel que ce second terme s'ajoute au premier en valeur absolue.
Dans l'équation (13) — N est toujours positif, il faut donc prendre pour le second terme un signe tel que ce second terme soit positif, c'est-à-dire le signe -+- si X est positif et le signe — si X est négatif.
Pour être fixé, il s'agit d'étudier la variation du signe de X.
Nous avons vu par la formule (7) que Q peut se mettre sous la forme n%pa, n étant un coefficient numérique toujours facile à calculer; si Ton établit le moment X en donnant à Q cette valeur, ce moment peut s'écrire :
Xz=-pp*{cos* — cos?) (cosa-f-cosf — 4n sin <p)
Cette expression s'annule pour
a=<p, et pour a = oc|,
l'angle o^ étant déterminé par la relation
cos a fl = kn sin <p — cos ? .
Mais pour que l'angle a t puisse intervenir dans la question, il faut d'abord qu'il soit réel, et ensuite qu'il soit inférieur à y ; il est toujours réel, mais pour qu'il soit inférieur à ?, il faut que l'on ait la relation
n > q cotang. ?. ^
Delà, deux cas à distinguer :
Premier cas : »> \ cotang y. Le moment X s'annule en un point H correspondant à l'angle « Â ; au-dessus de ce point, le moment est positif, au-dessous il est négatif et s'annule encore aux naissances (figure 9 planche II).
Le moment X n'est autre que le moment qiri résulte du transport de la résultante des pressions N parallèlement à elle-même du centre des pressions en un point de la fibre neutre; d'après le sens défini pour la rotation des moments positifs, on voit que, si X est positif, la résultante des pressions et, par suite, le centre des pressions sont au-dessus de la fibre neutre. La courbe des pressions affecte donc la forme FHB, et elle €oupe la fibre neutre en H et en B.
Depuis a = jusqu'à a = ai, on devra prendre le signe + pour le second membre de l'expression (13); depuis a=a A jusqu'à a = y, on devra, au contraire, prendre le signe — .
Le demi-arc se divise donc en deux portions distinctes; nous appellerons q la pression dans une section transversale de la portion supérieure, et q' la pression dans une section transversale de la portion inférieure. Les quantités q et cf sont des fonctions de l'angle a qui, en développant l'équation (13), s'écrivent :
(14) *=£-[(- i +ïF*) cosV-(-i+^2»sin ? cos«-fl+0cos f (4»sin ? -cos ? )] t*5)«'=^[- ( 1 + ^) <»*«+( l+^în sin , cos«+l-^cos ? (4nsin ? -cos ? )J
La question qui se présente actuellement est d'étudier la variation de ctes deux pressions, lorsque a varie de à « A pour la première et de ^ à y peur la seconde.
Si Ton adopte pour abscisses le* valeurs successives de cos a et pour ordoft-
