CHAPITRE l'REMIKK. - FORMULES DK RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. Ti

forces S et S t , appliquées en A etB; le corps doit être en équilibre sous l'action de ces deux farces, ce qui n'aura lieu que si S et S 4 sont dirigées suivant ÀB, égales et directement opposées ; pour cela» il faut que les projections de R et T sur un plan perpendiculaire à ÀB soit elles-mêmes égales et directement opposées ; de même pour les projections de R 4 et T t ; il faut en outre que la somme des projections de R et 1^ sur la ligne AB soit égale à la somme des projections sur le même axe de T et 1 % .

Celte somme des projections de T et T t sur AB est donc seule déterminée, mais les projections ne le sont pas., et le système T, T 4 peut être remplacé par un système de deux farces équivalentes.

L'indétermination que Ton rencontre ici, dit M. Bresse, n'a rien qui doive sur* prendre.

Dans la réalité physique, les réactions des points d'appui ont une valeur dé* terminée pour chaque point ; mais, pour arriver à les connaître, il ne suffit pas de savoir que le corps AB est actuellement en équilibre. En effet, on ne trouble pas l'équilibre par l'addition de deux forces égales et contraires dirigées suivant AB; ce qui prouve qu'il y a une infinité de systèmes de réactions compatibles avec l'état d'équilibre. Lequel se produira réellement? Pour répondre à cette question, il faudrait connaître toutes les circonstances qui ont précédé l'état d'équilibre, c'est-à-dire rétablissement du corps sur ses appuis et ses déformalions sous les forces qui lui sont appliquées. Au reste, l'indétermination cesse quand on considère des systèmes de plusieurs corps articulés entre eux.

Chacun des corps articulés élant soumis à des forces extérieures dont l'ensemble est désigné par F ft pour le premier solide* F, pour le second..., la lettre F 4 devra contenir la réaction de l'appui fixe A> irais aucune des lettres F ne devra contenir les réactions réciproques des solides articulés, car ces réactions sont des forces intérieures au système, elles sont du reste deux à deux égales et directement opposées. Désignons par R t la résultante de translation des forces F à au point B, c'est-à-dire la résultante de toutes les forces F t transportées parallèlement à elles-mêmes au point B ; par R, la résultante de translation des groupes F t et F, au point C; par R 5 la résultante de translation des groupes F t F, et F 5 au point D....

Considérons les trois premiers corps articulés de gauche ; ils doivent être en équilibre pourvu qu'on applique en D une force égale à la réaction du quatrième solide sur le troisième. Donc, la somme des moments des forées extérieures FF 1 F t doit être nulle par rapport à un axe quelconque passant en D, et de plus les six équations générales de l'équilibre doivent être vérifiées pour l'ensemble du système* Réciproquement, si ces conditions sont réalisées, le système est en équilibre.

Si maintenant nous considérons le premier corps AB, les forces extérieures F f auxquelles il est soumis ont un moment nul par rapport au point B. et leur résultante unique est égale à B ft ; cette force R* est donc l'action exercée par le salidé AB sur le suivant BC ; inversement, la réaction de BG sur AB sera une forée — R t , et l'on pourra considérer le corps AB comme iaolé^ pourvu ou'on adjoigne aux forces extérieures la réaction — R t . 9e ce qui précède déroute les théorèmes suivants :

i° Le moment résultant de toutes le» forces extérieure», agissant entre u*e extrémité du système et un centre d'articulation quelconque, doit être eu) par rapport à ee centre d'articulation.

2° L'action exercée par un des solidea du système sar le solide voisin est égale

à la résultante de translation de toutes les forces qui agissent entre l'extrémité de la pièce et le centre d'articulation qui sépare les deux solides considérés.

Les propositions précédentes s'appliquent aux systèmes articulés simples, dans lesquels chaque solide ne possède que deux centres d'articulation; mais on rencontre souvent dans la pratique des systèmes articulés complexes, dans lesquels un plus ou moins grand nombre de solides possèdent plusieurs centres d'articulation. On ne peut guère alors établir de formules générales et il faut traiter chaque cas d'une manière spéciale.

Calcul d'une grue. • — Nous donnons comme premier exemple que Ton rencontre souvent dans te pratique, le calcul d'une grue à élever les fardeaux figure 11, planche II.

L'appareil représenté se compose d'un poteau vertical (ab) muni à son sommet d'un tourillon (a), et à sa base d'un pivot (b), engagés dans des crapaudines fixées l'une au plafond, l'autre au plancher. Cet arbre est donc mobile autour de la verticale. Il s'assemble avec un bras de potence (cd) que soutient en (d) la contre-fiche (de). Le fardeau est en P, soutenu par une corde ou une chaîne qui passe sur la poulie (d) et descend parallèlement à la contre-fiche pour s'enrouler sur le tambour (f) d'un treuil dont on voit en (m) la manivelle.

Nous ne nous occuperons pas du treuil, qui peut être à simple ou à double pignon, et dont les éléments se calculent en raison de la force motrice dont on dispose, et du fardeau maximum que l'on veut enlever.

Exprimons que l'ensemble du système est en équilibre sousTaction des forces extérieures.

Ces forces sont 1° le poids P, 2° les réactions R et R' exercées par les crapaudines sur l'arbre vertical qui leur transmet un effort latéral ; 3° le poids p de l'appareil entier, lequel est appliqué en (g) au centre de gravité, à une distance (a) de l'axe vertical de rotation; 4° la réaction verticale (q) exercée par la crapaudine sur le pivot.

Le moment résultant de toutes ces forces par rapport à un point quelconque du plan qui les contient doit être nul; prenons ce moment] par rapport au point (b). Il viendra

Kh=pa -f- P/, d'où (1) R a p | + P j-

Le moment résultant pris par rapport au point (a) donne de même :

R'A=pa-fPJ

Donc les deux réactions R et R' sont égales et les tourillons correspondants doivent avoir un même diamètre. Ces réactions sont d'autant plus fortes que (a) et (/) sont plus grands et h plus faible, toutes choses égales d'ailleurs.

Dans la pratique, la portée horizontale (/) de la grue est souvent égale à sa hauteur, et l'on a sensiblement pour la valeur de (a) le quart de la hauteur ; admettant en outre, ce qui n'est pas loin de la réalité, que le poids de la grue est égal à celui du poids maximum qu'elle doit soulever, on trouve que les réactions ont pour valeur f P.

La réaction R fait fléchir la portion (ac) de l'arbre vertical et il en résulte un moment fléchissant, dont le maximum, qui se produit en (c), a pour valeur R.rf; de même la réaction R' produit son moment fléchissant maximum R'rf' au point (e). Ainsi, on doit chercher à rapprocher le plus possible les points (c) et (e) des extrémités de l'arbre ; quelquefois même le rapprochement est assez considé-