CALCUL DES POUTRES EN TREILLIS OU DES POUTRES A MAILLE

On sait combien s'est développé depuis quelques années l'usage des poutres en treillis, composées de deux semelles pleines que réunit une âme à claire-voie; l'âme est formée de lames métalliques qui se croisent de manière à dessiner des losanges.

De ce système on en a dérivé plusieurs autres que Ton connaît plus en Amérique qu'en Europe, et dont cependant nous dirons quelques mots.

1° Système triangulaire on treillis simplifié. — C'est le système représenté par la figure 25, de la planche II : deux semelles horizontales ABC... A'B'C sont réunies par des pièces inclinées faisant avec la verticale l'angle a. — On connaît la réaction P transmise à l'extrémité de la poutre par la culée, et on admet que toutes les pièces qui concourent aux sommets de la 1 gne brisée AA'BB'... sont articulées en ces sommets.

U est facile de construire graphiquement, comme nous lavons fait tout à l'heure pour les poutres armées, les tensions ou \ ressions auxquelles chacune des pièces est soumise; le parallélogramme des forces suffit pour cela.

Ainsi, en partant de l'extrémité A, la réaction P se décompose en une traction de la semelle AB et une compression de la tige AA'. Cette compression est transmise en A' où elle se compose avec la charge extérieure qui peut être attachée à ce sommet A'. Leur résultante se répartit entre la première travée A'B' de la semelle supérieure et le lien A'B qui se trouve soumis à une tension.

Au point B nous trouvons deux forces qui viennent agir, c'est la traction dirigée suivant BÂ et la traction suivant A'B; la résultante de ces deux forces et de la charge qui peut être directement appliquée au sommet B de la semelle inférieure, cette résultante se décompose en deux forces dirigées, l'une suivant BC l'autre suivant BB'.

En opérant ainsi jusqu'à ce qu'on soit arrivé à l'extrémité de la poutre, on aura les tensions et compressions qui s'exercent dans toutes les pièces inclinées et dans toutes les travées des semelles.

Cette méthode graphique est parfaitement applicable, lorsque le nombre des mailles n'est pas trop considérable ; avec un dessin à grande échelle, on obtiendra des résultats exacts et rapides. Avec ces résultats on pourra construire des courbes qui peindront aux yeux la variation des pressions dans les deux semelles et dans les deux séries de liens inclinés.

Hais, en général, il sera plus commode de recourir au calcul et de se servir des formules que nous allons démontrer :

Considérons deux sommets consécutifs quelconques d'ordre m, et désignons par T m et t m les tensions des lignes CD et D'E,

0» et 9m ^ es compressions des lignes CD' etDV,

2j9 w et 2// w les charges totales appliquées aux sommets D et D\

Supposons la poutre coupée par un plan vertical passant entre D' et E, qf exprimons que l'équilibre existe dans la section obtenue ; les réactions de k portion de poutre située à droite sont : 1° la compression Q w -n; 2° la tension T m + 1 , et 5° la tension t m , l'équilibre doit exister entre ces réactions et toutes les forces extérieures appliquées à la poutre entre le plan de la section et Textrémité A ; dans ces forces extérieures, il faut comprendre la réaction P de la culée, laquelle réaction se détermine facilement par la statique.

Si BÛNT& BTIS VIADUCS.

Puisque l'équilibre existe, la somme des projections de toutes les forces sur un axe quelconque doit être nulle; projetons sur la verticale #y, il vient :

(1) '*cosa-P+2Z(/>' w +/> m )==0;

projetons ensuite sur l'horizontale, mras aurons :

Supposons maintenant la [poutre coupée, non plus entre D* et E, mais entre- D et D'; les réactions de la partie retranchée à droite se composeront dfes compressions Qjn et ^dirigées de droite à gauche et de la tension T m + 1 dirigée- de gauche à droite; i'équilihre existe encore entre toutes les forces extérieures auxquelles la poutre est soumise depuis la section considérée jusqu'à l'extrémité A. Exprimant que les sommes de projections sur la verticale et sur l'horizontale sont nulles, nous trouverons :

(3) <7»COSa — P-H22(p m +^»-.i} = 0,

(4) fcsih-a+Qb— TWtssOk

Des équations (i) et (5) nous tirons les valeurs àe t m et q»en fonction de la réaction de la culée et des charges de la poutre, toutes quantités qui. sont des données de la question.

Si nous ajoutons les équations (2.) et (4), il vient :

(5) Qm+t — Q»=('»+?») sin*

équation qui permet de calculer par cheminement les valeurs successives deQ^, la valeur initiale Q, étant égale à

2(&— j^)tang^

comme; on le voit immédiatement en. construisant le parallélogramme des forces en a . et . a.. •

Si nous remplaçons dans l'équation (2) l'indice m par (m— 1), cette équation reste vraie et s'écrit :

Ajoutant les équations (6) e* (4), on arrive à

(2) Wi— T^^t-j^J.siiuc,

équation qui permet de calculer par cheminement les valeurs successives de T M , la valeur initiale T t , étant égale à (Plangx), comme le montre le parallélogramme des forces construit en JL

Ainsi les équations (1) et (3) nous donnent tes valeurs de t m et y» qpï peuvent s'écrire :

(8) ^. >-»te+*J m v-î^+M

etlts équations (S) et (.7) noua permettent de calculer les valeurs successives dr T et de Q; le problème est donc résolu dans toute sa* généralité. Mais, dans la pratique, les formules se présentent plus simplement; les char-