CHAPITRE PREMIER. — FOROTLES OE BÉMSTANGE DES MATÉRIAUX
ges sont presque toujours uniformément répartie* suivant ftme ou l'autre des semelles, par exemple la semelle inférieure, alors il faut faire p constant et p' nul quel que soit l'indice.
D'autres fois, lorsqu'on voudra rechercher Feffet d'une charge isolée, on fera nulles toutes les valeurs de p etp' sauf une.
Nous allons étudier rapidement ces deux cas :
Formules dans le cas d'une charge isolée. Supposons que la poutre soit formée de it travées telles que AB, et qu'une charge uaiqu» {%p) sok appliquée à l'extrémité de la travée de rang (x); dans les formules précédentes, les sommes dep m et de p' M seront nulles tant que (m) sera inférieur à x; pour m supérieur à x, les sommes de p' m resteront toujours nulles, mais les sommes de p M prendront une valeur constante égale à p.
Le poids 2p se partage entre les deux culées en raison inverse du nombre de travées qui le sépare de chacune d'elles, donc
transportant ces données dans les formules (8) et (9) nous trouvons que :
V» m cos «
tant que m est compris entre 1 et (x — 1) ;
^* Arcosa
tant que fit est compris entre x et k.
Ainsi, lorsque (m) arrive à dépasser (#), le sens des 1 efforts transmis aut tiges inclinées change immédiatement; celles qui s'inclinent à ga»che étaient comprimées et celles qui s'inclinent à droite étaient tendues, le phénomène inverse se produit sans aucune transition, les premières se trouvent soumises à l'extension et les dernières à la compression. Si <m considère une tige D€', tout poids placé à l'aplomb d'un sommet de la semelle* inférieure, à gauche de B, y détermine une tension, et tout poids placé en D ou à droite y détermina une compression.
La combinaison de surchage qui déterminera le maximum de tension se présentera lorsque tous les sommets à gauche de D seront seuls chargés, et celle qui déterminera le maximum de compression se présentera lorsque tous les sommets à droite seront seuls chargés. — Pour une combinaison quelconque de surcharge, l'effort supporté par la tige DG' variera entre les maximums de tension et de compression ci-dessus définis ; il sera donc utile» au point de vue de la recherche de la stabilité, de calculer ces deux maximums.
Proposons-nous de calculer maintenant les valeurs successives de T et Q.
L'équation (5) qui donne la valeur de Q peut s'écrire, en remarquant que t m et q M sont toujours des quantités égales, dont la valeur commune peut se désigner par r ;
Donnant à (m) suecesavement te* valeurs- 0* i, 2> Sj 4.... et remarquant que
Q 6 =0 et (Q t =2Ptonjfa), nous aurons la série d'équations :
Q t — 4 = 2rsina Q 5 — Q t =2rsina
Q m — Qm-i=2rsin«
ajoutons toutes les équations de ce groupe membre à membre, nous arrivons à
Q A = 2(m— l)rsincc+2Planga
lorsque (m) varie de 1 à (x) 9 r est égal à , et
Q m = 2m.P. tang a. = 4m.p. , tang a*
Lorsque (m) varie de x à (A), il faut ajouter à la valeur précédente de Q., dans laquelle on fera (m = x), (m — #+- 1) fois le produit 2m'n«, la valeur de
élant prise égale à ( — ip-— ) et alors :
Q» — 4P*-— ^tang«.
On trouverait de même les valeurs successives deT au moyen de l'équation (7). Les formules nous montrent que Q et T sont toujours positifs, quelle que soit la position de la charge; ainsi un poids isolé quelconque suspendu à la semelle inférieure détermine une compression de la semelle supérieure et une tension de la semelle inférieure, et, comme les effets des forces se cumulent, on voit que l'effort maximum se produira dans les semelles lorsque la poutre entière se trouvera chargée.
Formules dans le cas d'une charge uniforme. — Les k travées dont la poutre se compose sont chargées chacune d un poids 2p; le poids de la moitié des deux travées extrêmes se transporte directement aux culées et se trouve annulé par une réaction égale.
La réaction P des culées est donc égale à p (k — 1).
Lesformules (8) et (9) nous donnent : (10) t m =q m = P* " m ^ =P ~~ m ~ L'équation (5) va nous fournir les valeur successives de (Q) :
Q»+i — Q* = [t m 4- q m ) sin a = 2p tang a (k — 2m — 1);
faisons successivement m = 1, 2, 3, 4 , nous aurons :
Q, — Qi = 2/>;*— 2 — 1) tang* Q s — Q t =2/;* — 2.2— l)tanga (k— 5 =2/>(*— 2.3 — l)tang« 0„- Qm-i=2/>(*— 2(m— 1) — l)tang«
Ajoutant toutes ces équations, membre à membre, nous trouvons ;
Q w — Q 1= =2ptang«[ (m— 1)*— 2(1+2 + 3 + + (m — 1))— (m— 1)|
