CHAPITRE PREMIER. — FORMULES DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Remarquant que (Q 1 =2jd(M) tanga et que la somme des n premiers nombres entiers est égale à l^â — -)» nous arrivons à

(U) Q m = 2ptanga.ro. (k—m).

Reste à calculer les valeurs successives de T; et c'est l'équation (7) qui nous les donne :

ÏWi — T m = (*»i + q m ) sin a, Wi — T m = 2p tang a [k — 2ro).

Faisant successivement dans celte équation m = 1, 2, 3 y nous aurons :

T t — T i = 2ptanga[* — 2.1] T s — T, = 2/7 tang « [* — 2.2] T 4 — T 3 = 2/> tang a [A;— 2.3]

T OT — T w i = 2ptang«[* — 2(ro — 1)]

Ajoutant toutes ces équations, membre à membre, et remarquant que

T l = Ptanga = 2p(A;— 1) tanga. L nous arrivons à

(12) T m == 2p tang « [m (ft - ro -h 1) - £±J 1

Les formules (10) (H) (12) nous donnent les tensions et compressions produites par la charge uniforme dans toutes les tiges et dans toutes les sections des semelles et le problème que nous nous étions posé est complètement résolu.

Les variations des tensions et compressions des tiges inclinées nous sont indiquées par la formule (10); ces forces t et q ont leur maximum pour (m= 0)

M et vont en décroissant jusqu'à ce que m atteigne la valeur -~- , alors elles s'annulent, puis changent de signe et passent par le même série de valeurs absolues entre le milieu de la poutre et l'autre culée. — Si k est pair, on ne peut avoir 2m = (kl ) , donc les valeurs de t et q n'atteignent pas zéro, mais elles s'en approchent de très-près.

Si Ton cherche le maximum de Q w avec la formule (11) on voit qu'il se produit pourf m =^), et si Ton cherche celui de T» avec la formule (12) on voit

qu'il se produit pour ( m = — ~ — 1 . — Ces deux maximums se produisent donc

vers le milieu de la poutre ; la compression de la semelle supérieure et la tension de la semelle inférieure vont en croissant depuis les culées jusqu'au milieu de la poutre.

Le maximum de Q est égal à

gptanga.ft*

86 mm et muocs.

elle maximum, de Ti

ces deux quantités sont sensiblement égales pour peu que le nombre des travées soit notable.

Ainsi les tensions et compressions dans les semelles varient en sens inverse des tensions et compressions dans les tiges ; les premières augmentent et 1er secondes diminuent depuis les extrémités jusqu'au milieu de la poutre.

Assimilation des poutres en treillis et du système a triangles. — L'assimilation des poutres en treillis et du système à triangles, que nous venons de calculer, est assez délicate et paraît tout d'abord d'une assez médiocre exactitude; cependant elle est généralement admise et ne conduit point à de mauvais résultats dans la pratique. — On peut donc la considérer comme suffisamment justifiée.

Dans le système à triangles, les semelles horizontales ABC... A'B'C... sont formées de pièces articulées en chacun des sommets; dans les poutres en treillis, les semelles sont des feuilles de tôle continues, posées horizontalement; comme leur longueur est considérable relativement à leurs autres dimensions, elles jouissent d'une grande flexibilité et <m peut admettre qu'elles possèdent une charnière ou articulation en un point quelconque de leur portée.

Si nous considérons maintenant les liens inclinés tels que AA' et BB', on les remplace par une série de liens parallèles répartis entre A A' et BB', entre BB' et CC, et tels que la somme de leurs sections transversales soit égale à la section que le calcul indique pour AA' et BB'. On opère de même pour les liens A'B inclinés en sens contraire. On admet ainsi que les forces t et q, calculées précédemment, se partagent entre toutes les tiges inclinées qui viennent rencontrer la base ÂB de ce que nous avons appelé une travée de la poutre à triangles ; cette hypothèse n'a rien qui puisse étonner, si l'on remarque que AB est toujours une fraction très-faible de la portée totale de la poutre et que la variation des efforts transmis aux pièces inclinées doit être peu sensible sur une aussi petite longueur

Le calcul des poutres en treillis sera donc facile ; en chaque point des semelles, nous avons la tension ou la compression, ce qui nous donne la section eu égard au travail que Ton veut imposer à la matière par unité de surface; de même, pour chaque faisceau de tiges inclinées, correspondant à la base AB des triangles du système générateur, on a l'effort total, qui, divisé par le nombre des tiges du faisceau, donne l'effort afférent à chaque tige et par suite sa section,

La section des semelles ira en croissant des extrémités au milieu de la poutre, tandis que celle des faisceaux des tiges inclinées ira en décroissant.

On sait que, généralement, les lames du treillis sont rivées, en haut et en bas, entre deux cornières rivées elles-mêmes sur les semelles ; la rivure étant faite à chaud et comprenant plusieurs rivets, il n'existe point, à vrai dire, de centre d'articulation aux extrémitées des tiges inclinées; peut-être avec le temps la rivure se desserrera-t-elle et arrivera-t-elle à permettre un certain jeu, mais, dans le principe, il est certain que l'articulation est absente et que même on la proscrit sévèrement.

En outre, les tiges inclinées en sens contraire, lorsqu'elles se rencontrent, ne sont point simplement accolées, on les réunit encore par un rivet, et on les rend solidaires, ce qui est absolument contraire à notre théorie.

On admet, ce qui n'est nullement démontré! que ces modifications n'ont pour