CHUTE ET ASCEKSIOH DES CORPS PESANS
: ■ ■ vi' - ■ . . ■
LVII. Nous voilà maintenant eii état, de résoudre toutes les questions sur la chute ou l’as-
MANÜEL
cen«ion rectiligne des corps pesans : occupons nous d’abord de la chute.
I**" Problème. On demande quelle sera la vitesse acquise au bout du temps T par un corps " qui tombe. . ...
Solution. ( g, 8088 ) T , problème déjà résolu ci-dessus. • , • '
II« pRÔm-ÈME. Quel est l’espace parcouru au- bout du temps T. * . • •
Solution. E = (4,9044 ) T®, problème aussi déjà résolu. . ■ - , •
III' pRODLÈME. On demande le temps au bout duquel un corps pesant acquerra une vitesse V. • ' !
Solution. T = »
secondes.
•ou T exprime des
, Exemple.
= q,io2=:6"',i.
¥=1*“ on tire T= — —
Ainsi , au bout de 6"’ un corps qui tomlîe acquiert une vitesse d’ùn mètre par seconde.
ÏVe. Problème. On demande quel temps il faut ,*à un corps pesant, pour parcourir un • espace donné. . *
' Solution. '
ô’i45 ïVË. ^ ‘
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DE MÉCANIQUE. h
Exemple. E = 4444“= ^ Keue environ,’ on aura' - ' .
Ainsi, lorsque la pluie se forme à une lieue de hauteur, il ne lui faudrait qu’une demi-minute et quelque chose de plus pour arriver à ^ terre, si on faisait abstraction de ,1a résistance de l’air. * * .
V« Pboblàmb. Étant donnée la vitesse de la chute on veut en connaître la’haüteur. ’ “
. Solution, Oh a T = — ; substituant cette va>
leur dé T dans celle de E , on aura
. yp Problème. Connaissant la hauteur de la
chute ÿ trouver la vitesse acquise.-
Solution. On a, par le problème précédent ,
*ya '
d'où , =
Et V=l/ ag^E^iV^
Exemple, Supposons* E =• 4444“ -environ
une lieue , ou aura •'
Ainsi /-après avoir parcouru une lieue, wi , corps pesant ^çquiert une vitesse de 294 »6
4o* - MANUEL
par seconde. • On' voit quelle énorme vitesse prendraient les corps de Tatmosphère , tels que la grôle, la pluie, si cette vitesse n'était cdhsidérablcmcnt diminuée par la résistance de l’air.
LVIII. Si un corps est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse donnée, et s’il n’existait ni pesanteur ni résistance de l’air, le corps s’élèverait indéfiniment avec une vitesse constante ; mais dans l’état des choses telles qu’elles existent, la pesanteur agissant en sens contraire de la vitesse imprimée , enlève à chaque instant une portion infiniment petite de sa vitesse , et que nous avons représentée par c. La résistance de l’air s’oppose aussi à son mouvement; mais nous ferons abstraction de cette diminution , et nous siij)poserons que le corps se meut dans le vide : nous n’aurons besoin d’avoir égard qu’à la diminution de vitesse occasionnée par la pesanteur.
LÏX. Soit U la vitesse imprimée au corps par la force qui le lance ; cette vitesse u ira sans cesse en diminuant par les pertes qu’elle fait à chaque instant, et elle sera entièrement éteinte lorsque l’accumulation des petites vitesses c sera devenue égale à u, ou, ce qui revient au même, lorsque la seule action de la pesanteur aura pu donner au corps la vitesse u. Alors la vitesse u sera éteinte. Or, désignons par T le temps au bout duquel la pesanteur petit donner au corps la vitesse m, nous aurons l’éqüation ..
d’où
Nous connaissons donc le temps au bout duquel le corps cessera de monter.
Exemple. Supposons qu’on ait lance un corps de bas en haut avec une force capable de faire décrire au projectile i oo mètres par seconde , alors U = loo
lOO
et
fO ,1.
Ainsi, le corps cessera de monter au bout de’
io ,1
Xâ^. Lorsque le corps fiura atteint sa, plus grande élévation , sa vitesse impriraéè étant entièrerafent éteinte , et la pesanteur agissant tçjijours. sur lui, U est évident qu’il corallien- . cera à descendre, et sa vitesse ira toujours en» croissant.^ La pesanteur lui rendra alors toutes ^ Ifcs petites vitesses qu’elle lui avait ftiit perdre .lorsqu’il montait; de sorte que lorsqu’il sera arrivé' au point de départ, alors la vitesse sera ù , la même qu’il avait en partant : or, nous avons vu que, pour qu’un çorjSs pesant acquiert une vitesse u , il faut qu’il décrive uù
espace
Nous connaissons l’espaje qu’jl a,, décrit en descendant, par conséquent nous savons au^ssi à quelle hauteur il est monté;
4a MANUEL
Exemple. Supposons a= ioo“, nous aurons
T 7 io>ooo — environ; ainsi le corps
montera à 5o5 mètres de hauteur.
LXI. Résumé. Dans l’ascension dun corps , nous voyons l’exemple d’un corps qui obéit a deux sortes de forces : à une force de projection qui tend , si elle était seule, à lui faire décrire un mouvement uniforme, et à une force retardatrice qui tend à lui faire décrire un mouvement unitor- ^ . mément accéléré. En vertu de la première force, sa vitesse , au bout du temps T, sera toujours n ; . en vertu de la seconde force, elle sera T au bout du temps T. Si nous désignons donc par U la vitesse qu’il a réellement , on aura ■ uz=zu — g-T.
La vitesse n' sera nulle lorsqu’on aura n =
; ainsi qu’il a été trouvé ci-dessus ; de méThe l’espace parcouru en vertu de la force de pro- • jection sera égal à nT au bout du temps T^et
èn vertu de la forcé retardatrice, elle sera-—
donc l’espace réellement décrit au bout du ^
temps E==mT
, A. l’aide de /cette .dernière équation, on peut connaitrè à quelle hauteur se trouve le projectile après un tempswT.- 1 ; •
,LXII. Regardant donc cette dernière quantité T comme inconnue,, on peut trouver au
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oE.sréçA^rrQUE. 4^
bout de quel temps le corps se sera élevé à la hauteur E.
En effet , on a
• , 2 E r= 2 M T — é" T* ; changeant les signes , on a
gT* — a «T= — aEj divisant par g, il vient • ' ’
Les deux valeurs sont positives, et annoncent que le mobile se trouvera au même point en deux temps différens ; le premier, en montant , est doiiné par le signe inférieur, et le second , en xiescendant, par le signe supérieur, *
II n*existe qu’un seul point ou le, mobile ne se trouve qu’une seule fois, et auquel ne répond qu’un seul temps; il faut alors que le radical soit nul ; et que l’on ait
. — = d où l’on tire «*!== 2 gE" .
•et ■£=— • ‘
Telfe est la' plus grande élévation du mobile > ainsi qu’il à été trouvé ci-dessus. (EX.)
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MAIVUEI.
