LXVIII. Soit encore une sphère A tirée
moyen d’une corde dont la direction passe par
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son centre, suivant la direction A P, avec une force représentée en grandeur et en direction par la ligne A B ; supposons que cette sphère soit tirée en même temps par une force A Q , dont la direction passe par le centre, et qui est représentée en grandeur et en direction par AD, alors l’effet sera le même que si la sphère était tirée suivant la direction A R par une force représentée par AB. Exemple. Supposons quatre hommes de force égale tirant la corde AC, et que trois hommes de forces égales entre elles et aux premières tirent la corde AB, suivant une direction perpendiculaire à la première, alors cinq hommes de même force tirant suivant A D jmoduiront le même effet que ces sept hommes ( voir l’exemple ci-dessus ) , et la force de ces cinq hommes , dirigée suivant A D , représente la résultante des forces des sept liommes. ( Ei^. 8. )
Soit maintenant la même sphère tirée à la fois par trois forces P, Q, R dirigées vers le centre , et de sorte que la force R soit égale et directement opposée à la résultante R^ des deux forces P et Q , la sphère R restera en place. En effet^ aux forces P et Q on peut substituer la force R'. L’effet des trois forces sur le corps est donc le même que celui de R «t R ; mais , par hypothèse , les deux forces sont égalés et directement opposées : elles détruisent donc leurs effets, et par conséquent le mobile ne, prend pas de mouvement.
L;XIX, Lorsqu’une force R détruit l’effet de
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deux autres , on dit alors qu’elle fait équilibre à CCS deux forces, et en général une force fait équilibre à tant d’autres forces qu’on voudra lorsqu’elle parvient à anéantir leur effet.
LXX. Dans ce même exemple, R fait équilibre aux deux forces P et Q; mais la force P fait équilibre aux deux forces Q et R, et la force Q aux deux forces P, R. Si donc on prenait la résultante de Q et R, elle serait égale et directement opposée à P, et la résultante des deux forces R et P sera égale et directement opposée à Q. On comprendra maintenant ce théorème général, lorsque trois forces agissant sur un même point sont en équilibre ; il faut que l’une quelconque d’entre elles soit égale et directement opposée à la l'ésultante des deux autres; et comme la résultante des deux forces est toujours dans le plan de ces forces , il suit de là que trois forces ne peuvent se faire équilibre, à moins d’être dans un même plan.
. LXXÏ. lo.) Si donc trois forces non
situées dans un même plan sont appliquées au point A , il ne pourra pas y avoir équilibre , et voyons ce qui aura lieu alors. Soit A un mobile tiré par trois forces P, Q, S, appliqué au point A, et représentées en grandeur et en direction respectivement par les lignes AC , A B, AE non situées dans le même plan ; à la place des deux forces P et Q on peut substituer la force unique T, représentée en grandeur et en direction par AH diagonale du parallélogramme construit sur A C et AB (LXV). Au lieu des trois forces , ou n’a
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MANUEL
besoin de considérer que les deux forces T et S : or, à ces deux dernières on peut substituer une force unique R , représentée en grandeur et en direction par la diagonale A K du parallélogramme EAHK. Mais AK est la diagonale du parallélipipède construit sur les lignes A B , A C, AE, on obtient donc cette proposition générale.
La résultante des trois forces , non située dans le même plan et agissant sur le mémç point d’un corps , est représentée en grandeur et eu direction par la diagonale du parallélipipède construit sur les lignes qui représentent ces forces en direction , à partir du point d’application.
Soit A C =3 q j A B = 1 2 j A E 20 , et supposons que les trois directions soient perpendiculaires l’une à Tautre*, alors le parallélipipède devient un parallélipipède rectangle; nous aurons donc
AH = l/^“ 4 - A C»=: V/144 4-81 = t/ 225 33 l5
AK 3 =/AH»+AE»:rrV /225 + 4oo =V^ 625 3= 25 ' — .
Donc la résultante =3: a 5 .
LXXÏI. Si nous supposons donc que neuf hommes tirent le point, A vers C; que douze hommes de même force tirent le point A vers B ; que vingt^ hommes tirent le • point A vers E , dès-lors, si vingt-cinq hommes tirent le point A dans le sens opposé à A R, ‘ le point A restera
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en équilibre J on suppose, d’ailleurs, que tous ces hommes sont de force égale.
LXXni. Nous sommes maintenant en état de trouver la résultante de tant de forces qu’on voudra , appliquées toutes à un même point.
A cet effet, on cherche la résultante des deux premières forces ; à la place de ces deux forces, on peut en mettre une seule : ainsi , il y a déjà une force de moins dans le système. On cherche ensuite la résultante de cette première résultante partielle et de la troisième force , que l’on substitue à la place de ces deux dernières forces; on cherche ensuite là résultante de cette seconde résultante partielle et de la quatrième force , et ainsi de suite , il est évident que l’on parviendra à ramener tout le système à une seule résultante qui fera le même effet que toutes les forces ensemble. Si l’avant-dernière résultante se trouvait -égale et directement opposée à la dernière force, il y aurait équilibre, c’est-à-dire que la résultante serait nulle. {Voyez Note 3 .)
