AI

LXXXIX. Moins Q différera de P , et plus - X sera petit et plus AI sera grand; et lorsque Q sera égal à P, alors X=; o , et AB sera infini dans ce cas. Ce problème est purement algé- ’ brique et n’a, plus de sens en mécanique. , XG. Etant données deux forces paraUèles et inégales P et Q, agissant dans des sens opposés', trouver leur résultante'et la forcé qui les tient en équilibre {fig. 19), soit P.^Q. , • Décomposons la,force P en deux forces pa-' rallé|es Q' et X {voir le problème précédent),

6o MANUEL

(le manière que l’on ait Q^= Q y on aura les deux équations

XXAI = QXAB.

Aux deux foi*ees P et Q on peut substituer les trois forces X , Q » Q' , mais Q et Q' se détjraisent. A’ux deux forces ‘P et Q on peut donc • • substituer la force X , donc cette force est la résultante; et par conséquent la force Y, ‘directement opposée à X, tiendra en "équilibre les deux forces P et Q.

XCI. Règle. La résultante de deux forces parallèles inégales et agissant dans des sens opposés est égale à leur différence. Sa direction est parallèle à celle des composantes, et eUe agit dans le même sens que la plus, grande; et cette résultante, multipliée par sa distance à la plus grande force., est, égale à la plus petite , multipliée parla distance de son point d’application à celte même force.

Problème VIII. Trouver la résultante de deux forces parallèles et égales agissant dans des sens ^opposés, ao.) •

, . Solution. En essayant la même méthode que

• • pour le problème précédent , il' faudrait déebmposer la force P en deux forces ,* dont rûne lui serait égale et parallèle , et encore en une autre . force ; ce qui est impossible (LXXXIX)l Donc , on hc peut tenir en éqmlibre , an mioyen, d’une , seule force, deux forcés égales' et parallèles et • agissant dans des sens opposés, et il était aisé

DE MÉCANIQUE. 6l

de prévoir cette impossibilité à priori : car il n’y a pas de raison pom^^que la force équilibrante agisse plutôt dans le sens de Tune que dans le sens de l’autre.

On a donné un nom particulier à ce cas exceptionnel. On appelle couple deux forces égales et parallèles J agissant da|i$ le sens opposé. Ainsi , la proposition précédente s’énonce ainsi. Il est impossible.de tenir en équilibire ^n couple au moyen d’une seule force. , ' ’ ‘

Problème IX. Étant données un nombre quelconque de forces parallèles agissant dans un même sens, trouver : i°. la résultante ; a®, la force parallèle qu’il faudrait appliquer pour maintenir, le corps en équilibre. >

Je cherche la résultante des deux premières forces ; elle est égale à leur somme et parallèle à leur direction, agit dans le même sens, çt partage la droite d’application en segmens réciproquement proportionnels aux composantes.

Je joins son point d’application à celui de la troisième force , et je cherche la résultante ; ellé ■ est égale à leur somme ; et comme la première résultante partielle était égale aux deux premières composantes, la seconde sera égale a la somme des trois premières forces. Je joins le point' .d’application de cette force au point d’applica- , tioq’de la qu^frièkie force , et'chefche la résubtante fct ainsi déauiîe ; de sorte qu’il est évident qu’on-dh^iendfa a la fin une force unique qui équivauclifa à -tontes les forces, et- qui. agit * 6

dans le même sens et leur est parallèle; par conséquent , pour tdftir ce système de force en équilibre , il faut appliquer une force qui soit * égale à toutes les forces, et agisse dans le sens opposé. * ' , , •

•Dans le problème précédent, si toutes les forces sont égales, alors la résultante est égale à Tune d’elles , prise autant de fois qu’il y a de forces, XCII. PaoBLèME X. Étant donné un système .

de forces parallèles, les unes agissant dans un sens, les autres dans le sens opposé,' trouver :

1®. la résultante ; a®, la force qu’il faudrait appliquer pour maintenir le système en équilibre. ■ . ■

J Je cherche, 'comme dans le problème pré- ' cèdent, la résultante de toutes les forces qui agissent dans un sens, et la résultante des forces qui agissent dans le sens opposé , et le système '' sera réduit à deux forces parallèles agissant dans des sens opposés.

Il peut se présenter trois cas :

1®. Les résultantes partielles- sont inégales^

2®. Les résultantes partielles sont égales et ’ directement opposées

* 3 f». Ou elles sont égales sans être directe-. ment opposées. , *’ , .

Premier cas. La résultante totale est égale à la différence des deux résultantes partiellés et ’ agit dans le sens^de la plus grande. Or, chaque résultante^ partieÜe étant la somme’ de toutes les.. ' composantes , il s’ensuit que la résultante totale

est égale a Texcès de la somme des forces qui agissent dans un sens sur la somme des forces qui agissent dans le sens^ oppo.sé; quelle agit dans le sens de la plus grande somme de forces et lui est parallèle. Par conséquent , la force qui fera équilibre au système doit agir dans le sens de la plus petite somme.

Deuxième cas. Il y a équilibre.

Troisième cas. Le système est alors un couple,

. et on a vu qu’on ne peut trouver une force qui lui fasse équilibre. (XCI.)

Moins les deux résultantes partielles différeront Tune de l’autre, et plus la résultante totale sera petite, et plus le point d’application sera situé loin. (LXXIX.)

♦ Du centre des forces parallèles.

' Lorsque des forces parallèles sont appliquées

* à divers points d’un corps , si , sans changer de . points d’application , de gp'andeurs , sans cesser d’êti'e parallèles, elles changent seulement de direction , la résuTtwtè change aussi dé direction, mais.conserve toujours la même grandeur et passe toujours par le même point.

Supposons qu’en conservant les mêmes conditions les, forces parallèles changent vingt fois de direction , la* résultante aura aussi vingt

• directions différentes ; mais toutes passeront « par un même point.- En effet, soient ^d’abord deux- forces parallèles P et Q. ( Fig. 21 .)

MANUEL

Appliquée à la ligne AB, la résultante passe par le point qui divise la droite en parties réciproquement proportionnelles à P et à Q; si P et Q viennent à changer de direction, la ré- • sultantc prendra une direction parallèle , mais passera toujours par le point C.

Soit maintenant une troisième force S appliquée au point D, pour avoir la résultante des trois forces il faudra diviser la droite C D en parties réciproquement proportionnelles ; si toutes les forces viennent à changer de direetion J la résultante passera toujours par le point E , et restera parallèle à la direction des forces. Il est évident que le raisonnement sera le même , quel que soit le nombre des forces ; et les unes agissant dans un sens , les autres dans le sens opposé.

On a donné le nom de centre des forces parallèles au point par lequel passe constamment la direction de la résultante, quelque direction que prennent, d’ailleurs, les composantes , pourvu qu’elles ne changent ni de direction ni de grandeur et qu’elles conservent leur parallélisme.

Lorsque le système se réduit à un éouple , le centre des forces parallèles est à l’infini.