Q“^CD

.. il y aura équilibre. .

En effet, les triangles AOB, COD étant semblables ^ on a “ s;

AO : QD :: ab:cd :: P :Q . BO : o c :: AB : CD :: P : Q.

Ainsi, les deux segraens BO et O C sont réciproquement proportionnels à P et à Q, dont

* le point O est le point d’application de là ré-

• sultante P-f-Q des deux forces parallèles P et Q; de même le point O est le point d’applica-

^ tion de résultante des deux forces — P et — Q, dont les quatre forces se réduisfent à deux autres, égales entre elles et directement opposées ; donc il y a équilibre.

, En général, soient AB et CD^, deux roues montées sur le même axe P^ — P, représentant .chacune une corde tirée par lo hommes de for- ’ ces égales, CD est double de AB. Alors il fau- *dra appliquer 20 hommes à chaque extrémité ' de AB, agissant dans le sens opposé pour . maintenir l’équilibre,

CIX. La conclusion serait la meme si la hau- ■ teur du cône était nulle ; alors les couples seraient dans un même plan : il y aurait équilibre, et l’on retomberait dans ce qui a été démon- :• tré. (ÇIV.) ^ ... -V .. V

ex. Les produits P X C D et Q X A*B',sont ce qv’on appelle les momens des couples. Par ' ' consçquertt ^ èn admettant cette dénomination-

<72 • Manuel

on peut donner à la proposition précédente un énoncé plus simple. Deux couples situés dans , pn mémo plan ou dans des plans parallèles se font équilibre lorsque leurs momens sont égaux et qu’ils tendent à faire tourner dans des sens opposés. Le bras du couple est la perpendiculaire interceptée entre les forces du^couplc; aussi le moment d’un couple est le produit de la force par le bras du couple.

CXI. Si le couple (P — P) agissait seul, il tendrait à donner au cône une certaine vitesse angulaire ; si le couple (Q — Q) agissait seul , il tendrait aussi à donner une vitesse angulaire; et lorsque les deux couples agissent simultané-, , ment, cette vitesse angulaire est nulle. Il faut donc que la vitesse angulaire donnée par le , couple P soit égale à la vitesse angulaire que donnerait le couple Q , qui 4 même moment. '

Ainsi , lorsque les couples sont dans des plans parallèles ou dans le même plan , leurs vitesses . angulaires sont proportionnelles à leurs momens ; on peut donc toujours remplacer un couple par un autre couple, qui agisse dans le même sens , pourvu qu’il conserve le même moment, et qu’il soit dans le même plan ou dans un plan parallèle.

De tout ce que nous venons de dire sur l’équilibre des couples , il nous sera facile de conclure ce qui arrive lorsque les couples ne sont,' pas en équilibre.

Nous supposerons d’abord que les forces.»

agissent dans des plans parallèles, ou , ce qui.

reTient an inéniQ, dans un même plan; car nous avons vu qu*on peut toujours les y supposer,

CXIII. Supposons donc deux couples a^ssant dans le même sens , l’un ayant un moment représenté par M, et l’autre un moment représenté par M'. Si le premier couple agissait seul, il donnerait une vitesse angulaire proportionnelle à M ; si le deuxième couple agissait seul , il donnerait une vitesse angulaire proportionnelle à M'; s’ils agissent donc ensemble , ils tendront à donner une vitesse proportionnelle à M-f-M'. Ils produisent donc le même effet qu’un couple qui aurait pour moment M -f- M' : le résultat est énoncé dans la proposition suivante :

Deux couples agissant dans le même sens , dans le même plan ou dans des plans parallèles , se réduisent à un couple unique , agissant aussi dans le même sens, situé dans le même plan, dont le moment est égal à la somme des momens des deux couples.

CXrV. De là on peut conclure immédiatement : Etant donnés tant de couples qu’on voudra , agissent dans le même plan ou dans des plans différens parallèles , ils se réduisent à un couple unique, agissant dans le même sens, situé dans le même plan, et dont le moment est égal à la somme de tous les autres,

C^V. Supposons que le couple, dont le Moment est M', tende à faire tourner dans le’sens opposé à M , on raisonnera de la même manière. Le premier couple tend à donner une

tf’H'

^4 MANUEL

tesse angulaire proportion nejlc à son moment M', et Vautre une vitesse angulaire proportionnelle à M ; alors le résultat sera M' — M si M' ;> M ou M — M' , si M >• M' ; ce qui donne la proposition suivante :

Lorsque deux couples agissent dans un niéme plan , ou dans des plans parallèles, et dans des sens opposés, on a pour résultat un couple dont le moment est égal à- l’excès du plus grand moment sur le plus petit, et qui tend à faillie tourner dans le même sens que le plus grand moment ; si cet excès est nul , il y a équilibre.

CXVI. En général, tant de couples qu’on voudra étant appliqués à un corps, et agissant dans un même plan ou dans des plans parallèles , les uns tendent à faire tourner dans un sens , les autres dans des^sens opposés; ils produiront le même effet qu’un couple unique agissant dans le même sens, et dont le moment est égal à l’excès de la somme des raomeps des couples , qui tendent à faire tourner dans un sens, sur la somme des momens , des couples qiû tendent à faire tourner dans le sens opposé, et le corps tournera dans le sens de la plus grande somme ; si cet excès est nul , il y a équilibre,

CXVII. Couples situés dans des plans différens. Suit , par. exemple , un cône tronqué à bases non parallèles. {Fig. ag.)

Conçevpns qù’on prolonge les deux bases jusqu’^ ce qu’elles se coupent. Soit LM cette

de mécanique. 75

intersection , CD LM est le plan de la base supérieure , ABLM celui de la base inférieure.

On peut remplacer le couple (P^— ^P) par un autre couple agissant en LK et ayant son bras situé sur l’intersection , de sorte que l on ait LK='AB. On peut de même remplacer le couple (Q/— Q) par «n autre , ayant pour bras LK et pour forces S , pourvu que l’on ait SXDK = QXCD.

Ce couple agissant dans le plan CD LM, nous avons remplacé les deux couples par quatre forces, dont deux S, P, agissant au point L, et dont les deux autres — S, — -Pi parallèles aux précédentes , agissant au point R. Or, les deux forces P, S, îigissant au même point L, auront une résultante R représentée par la diagonale construite sur S et sur P. Il en est de même des deux foroes qui agissent en K ; les résultantes étant égales , opposées et parallèles , le système est encore réduit à un seul couple.

ex V 111. Deux couples situés dans des plans différens non parallèles se réduisent toujours à un seul couple, et par conséquent ne pein^ent

jamais être en équilibre.

CXIX. On donne au couple unique, qui remplace les deux autres , le nom de couple résultant.

CXX. Le moment du couple P^ — P est PXLK ; le moment du couide résultant R est RXLR; par conséquent ces trois momens sont entre eux comme Pi S :R, et les deux côtés dû parallélogramme S et P et sa diagonale sont

70 MANUEL

proportionnels aux raomens des deux couples composans et au couple résultant. Donc , si d’un point. quelconque on mène deux droites parallèles , l’une à la force P, l’autre à la force Q, et qu’on prenne sur ces deux droites des . lignes proportionnelles aux momens , sî ou achève le parallélogramme , la diagonale repré* sentera le moment du couple résultant , et menant par ce même point une parallèle à l’intersection des deux plans des deux couples, cette parallèle et la diagonale déterminent le plan ;}u couple résultant. '

Les forces S, R, P étant perpendiculaires à l’intersection LM , l’angle SL P représente l’angle formé par les deux plans , et l’angle R L P, l’angle formé par le plan ‘ résultant et un des autres plans. Par exemple, si les deux plans forment un angle droit „ alors le carré du moment résultant est évidemment égal aux carrés des deux autres composans. '

eXX (èw). Etant donné tant de couples qu’on voudra, on pourra toujours les réduire à un couple unique. A cet effet , on opérera comme au n® LXXIIÏ pour les forces.

CXXI. Problème Etant donnés trois plans {Jîg, 3o) CDLM, EFLM, ABLM, se coupant suivant la droite LM, supposons qu’un couple est situé dans le plan intermédiaire E LM F, il s’agit de le décomposer en deux couples , l’un agissant dans le plan ABLM, l’autre dans le plan CDLM.

Solution. Le problème se réduit évidemineht

à trouver les côtés d’un parallélogramme , dont on connaît la diagonale et la direction des côtés.

CXXII. Problème II. Décomposer un couple en trois autres couples agissant dans trois plans qui passent par un point donné. {Figure 3i.)

Soient X A Y, ^ kZ ^ Y A Z , les trois plans donnés, passant par le point A, se coupant mutuellement suivant les droites A X, A Y, A Z; soit AM l’intersection du plan du couple avec Je pian X AY et AN son intersection avec Je pian XAZ, on pourra décomposer le couple en deux autres, l’un agissant dans le plan X AY, et l’autre dans le j)lan passant par AM et AZ (F’koblème , car les trois plans X A Y, M A N, MAZ passent par la même droite AM; on a donc déjà un couple composant situé dans le plan XAY; le secoiHl couple composant, se trouvant dans le plan MAZ, peut se décomposer lui-mcine en deux autres couples , l’un situé dans le plan XAZ, l’autre dans le plan. Y A Z. Par conséquent, le couple primitif se trouvera décomposé en trois couples compo- ' sans situés dans les trois plans donnés ; ce qu’il fallait obtenir.

CXXIII. Lorsque les trois plans sont rectangulaires , c’est-à-dire sont perpendiculaires l’iin à l’autre, si on désigne :

Par L Je moment du couple agissant dans

le plan MAN,

Par X le moment du couple agissant

dans le plan XAY,

Par Y Z A Y ,

Par Z XAZ,

MANUEL

on aura évidemment

cary lorsque les momens des trois couples sont représentés par les trois côtes d un parallélipipède rectangle , le moment du couple résultant est représenté par la diagonale de ce parallélipipède.