CXXVIII. Si le plan du couple résultant

était parallèle à la force unique, soit Q Q ce

couple et R la force résultante , on peut transporter le couple parallèlement à lui-même , et le placer de manière que la dire*ction de la force Q se confonde avec la direction de la force R; alors on n’aura plus à considérer que eux forces parallèles inégales, agissant dans es sens opposés dont on peut toujours trouver la résultante. ' .

Donc, lorsque des forces agissent sur un

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corps de manière qu’elles se réduisent à un couple unique^ dont le plan est parallèle à la force unique , alors elles ,se réduisent toujours à une seule force,

CXXIX. Il suit de tout ce qui précède que, pour qu’il y ait équilibre entre un système de forces appliquées à un corps quelconque , il faut que la force unique- soit nulle et que le couple soit nul ausM. ;

CXXX. Nous Voyons donc que la condition de l’équilibre , en général , se réduit à deux conditions : i". nullité de la force de translation;- 2°. du couple de rotation. On est toutefois dans l’usage de remplacer chacune de ces conditions par trois' autres qui en sont l’équi- ■valent ; ce qui donne six conditions d’équilibrcj et dont l’énoncé est moins simple , mais se prête plus facilément au calcul. Pour comprendre ce qui va suivre, nous allons nou^ reporter à la figure (CXXIV) , et reprendre le raisonnement que nous avons fait ; les huit forces du système ont été remplacées par vingt-quatre , savoir : huit forces agissant au point M, et seize couples. Par le même point M , supposons qu’on mène trois droites quelconques MX, MY, MZ, non situées dans un même plan , chacune des huit forces agissant au point ICT , peut être décomposée en trois autres agissant suivant les lignes MX, MY, MZj au lieu des huit forces# on en aura vingt- quatre , huit agissant suivant* M X , huit > agissant suivant M Y, .huit suivant M Z , et les huit agissant

8 a MANtJEL

Tant MX se réduisent à une seule, de même que les deux autres. Le système est «ainsi réduit à trois forces agissant au point M; donc lorsque la force unique de translation est nulle, il faut aussi que chacune des trois forces soit nulle. Donc la première condition de l'équilibre peut se traduire en ces trois autres , si on décompose chaque force du système en trois autres parallèles à trois droites non situées dans un même plan ; il faut, dans le cas de l’équilibre, que la somme des forces parallèles à chacune de ces droites soit nulle; ce qui forme trois conditiohs. Considérons maintenant les huit couples. On peut décomposer de même chacun des huit couples en trois autres situés dans les plans XAM, XAV, XAZ; alors les huit couples seront remplacés par vingt -quatre; mais le groupe des huit couples qui se trouvent dans ün même plan’ peuvent se réduire à un seul , et ainsi les vingt-quatre pourront se . réduire à trois. Le moment du couple situé* dans le plan XAM doit être égal à la somme , algébrique des huit couples qui se trouvent dans un même plan , et . les trois couples se réduiront à un seul résultant. Dans ce cas de l’équilibre, le couple résultant doit être nul; il faut alors que chacun des trois couples composans soit nul. Par conséquent , la nullité du mouvement de rotation peut se traduire dans ses trois conditions : i®. si on décompose chaque couple en trois couples parallèles à trois plans fixes, il faut que la somme deymo-

DE MÉCAIVIQUE. 83 -

mens des couples parallèles à chacun de ces plans soit nulle.

Lorsque Jes six conditions ont lieu , il n’y a ni mouvement de translation ni niouvement de. rotatipn.

CXXXI. Dans certains cas particuliers que nous allons examiner, les sis conditions de l’équilibre se simplifient et sont susceptibles d’un énoncé plus court ; nous, allons en faire l’objet d’une -suite de problèmes.

CXXXII. Problème, I®^ Quelles sont les conditions d’équilibre d’un système de forces agissant sur un corps et placées toutes dans un même plan ?

Solution, {Fig.3t3.)

Point P‘, P”, P">, P*"^, etç. , <|^s forces situées dans un même plan , et appliquées au point A,B,C,D d’un corps. Choisissons un point quelconque M situé dans le plan des forces , et appliquons aussi des forces P‘, — P* ; P”, — P" parallèles aux forces, comme nous l’avons fait (numéro CXXIV), alors le système est remplacé par un nombre dé forces triple qui font le même effet, savoir : un système de forces appliqué au point M, et un système de couples.' Chacun de ces systèmes doit être en équilibre; or, ici le système de couples est situé dans un même plan. Il faut donc , pour qu’il y ait équilibre, que la somme algébrique des momens des couples soit nulle (numéro CXXX) ; et ici le moment de chaque couple n’est autre chose que le produit de la force multipliée

84 manuel

par la perpendiculaire abaissée du point M sur cette force. Nous avons doue la proposition suivante : pour qu’un système de forces situé dans un même plan soit en (équilibre, il faut 1°. qu’en transportant les forces parallèlement à elles-mêmes , et les appliquant à un point quelconque pris dans le plan, elles se fassent équilibre; a®, que la somme algébrique des momens pris par rapport à ce point, ou bien la somme des forces multipliées par leurs distances respectives à ce point , soit nulle en prenant avec des signes opposés les momens qui tendent à faire tourner dans des sens opposés.

Lorsque la première condition seule a lieu , il n’y a pas équilibre; le système se réduit à un couple dont le itoment est égal à la somme de tous les momens ; si la seconde condition seule a lieu, il y a mouvement de translation, et le système se réduit à une seule force passant par le' point que l’on a choisi.

CXXXIII. Lorsque toutes les forces passent par le même point M, pour qu’il y» ait équilibre, il suffit d’une seule condition, savoir: que la résultante soit nulle.

CXXXIV. Problème IL Quelles sont les conditions d’équilibre de forces parallèles agissant dans un même plan? )

Soient P’*, P'“, P*'^ les forces parallèles agissant dans le même plan, les forces appliquées en raisonnant comme ci-dessus , on voit , i®. que toutes les forces ont même direction ; 2°. que tous les bras des couples sont posés sur la tnême ^

droite ; par conséquent , lorsqu’il y a équilibre, on a les deux conditions : il faiit i». que la somme des forces soit nulle; que la somme des momens pris par rapport à nn.point quelconque du plan.= o, et réciproquement lorsque ces deux conditions ont lieu il y a équilibré;

CXXXV. Si la première condition seule a lieu, le système se réduit à un couple, ^ il y aura mouvement de rotation; si la seconde condition seulement a lieu, le corps aura seulement un mouvement de translation , et la résultante passera par le point M pour laquelle cette condition a lieu. .

CXXXVI. Nous avons donné ci-dessus (XCII) le moyen de trouver la résultante de tant de forces parallèles qu’on voudra , situées dans un - même plan , par la 'méthode dès résultantes successives ; mais la théorie des momens va nous fournir un énoncé bien plus simple de cette même question.

CXXXVII. Étant donné un système de forces parallèles , situées dans un même plan , trouver la résultante.

Solution. Soit P', P“, P"*, etc. , les forces parallèles ; R leur résultante {Jîg. 35 ) ; nous savons d’avance que cette résultante est parallèle aux forces , et que l’on a

R = P‘4-P«*; — P“> — P«»-f-Pv f-pv« on suppose

P* P"-f- P^-j- P^*^ P"'-f- P'^' ainsi R agit daqs le sens de P^

86 MANUEL

Concevons une force R égale et directement opposée à la force R, alors cette force, avec les six forces données , s<^n^ en équilil^re. Si on prend donc un point quelconque M dans le plan des forces ; alors , abaissant une perpendiculaire sur ces forces , désignons par P», P", P‘", etc. , les perpendiculaires A M , M B, MC, et par r la distance MD; toutes ces lignes sont données de grandeur, à l’exception de MD = r. Puisqu’il y a équilibre, il faut que la somnqie dénommée , par rapport au point M , soit nulle, et pn a l’équafion

( 1 ^ P*/?* -f- P» Piii^m — PiT P'' -j-

— Rr=o

d’où l’on tiré '

pijDi-|-P“^u.:Pm^ii« Piv^‘v»^pv^v^Pvi^Ti

P‘/>‘-|- P*i/?**, etc.

r est donc connu. On le portera, à partir de M, sur la perpendiculaire , dans le même sens que la plus grande somme des momens; on connaîtra donc la position de la résultante.

Ç’éqnation ( I ) fournit cette proposition :

X>e moment de la résultante* par rapport à un ppint quelconque pris dans le plln , est égal à la somme des momens composans.

CXXXVIII. Il est bien essentiel de ne pas con- ' fondre le sens des couples parallèles avec le sens . des forces ^qui produisent ces ''couples. Suppo-

sons, par exemple, que nous prenions pour point de décomposition fin point situé entre les forces , alors le dénominateur de r ne change pas, mais le numérateur change , et on aura