P" P”7?'«-4- P‘7?*^— PT»^ — P

pi -j- pu p.,i piv +i”+ pvi

La fôrce P'‘>, quoique agissant d|ins le sens opposé à P“, fait tourner dans le même sens relativement au point M.

En général, on peut se dispenser d’avoir égard à toutes ces différences de mouvement , en ayant égard aux signes des forces et aux signes des perpendiculaires , donnant le même signe à ceux qui ont la même direction , et des signes opposés à ceux qui ont une direction contraire. Ainsi , dans la figure 35 on, regarde comme positives les forces *qui tirent de droite à gauche , et comme négatives cellës qui tirent de gauche à droite ; on donne le signe + aux perpendiculaires qui vont du point M en haut , et le signe — à celles qui vont en bas. Alors les momens dont les deux facteurs sont de même signe sont positifs; les momens dont les signes sont opposés sont négatifs. Si on trouve pour r une valeur positive, on la portera du côté des perpendiculaires positives; si r est nul, c’est qu’alors le point choisi se trouvera lui-même sur la direction de la résultante.

CXXXIX. Lorsque le point M est situé sur la direction de la résultante , R /* est nul , et

Digitizid l.y Cinogic

gg MiJ^UEL

la somme des mouvemens qui tend à- faire tourner dans un sens est égal à la somme des mouvemens qui tend à faire tourner dans un sens opposé.

Soient les forces P‘, P», P»', P‘" parallèles entre elles et R leur résultante, soit M un point quelconque , on a

- . (a) Rr=P‘/>* + P"/?«-fetc.

Si par le même point M [fig. 35) on mène MK oblique par rapport aux forces, et désignant par J*, les distances du point M aux

forces et à la résultante , on aura R ^ = P» P» J" + etc.

En effet, multipliant les deux nornbres de

l’équation (i) par—, on aura • ^

* Ry = P‘ — 4-P“/?»— + P‘“/?"* — -f etc. r r ^

or — ==J*

donc on aura R j = P* -f" P“ -f- etc.

CXL. Problème III. Trouver les conditions d’équilibre d’un système de forces parallèles non situées dans un même plan. (Fig. 36.)

Soient P, P*, P“, P“* un système de forces parallèles non situées dans un même plan et en équilibre , menons un plan quelconque M pa-

rallèlc aux forces ; soit A a une droite qui mesure la distance de P> au plan'M N, et désignonsla par Z*; désignons de même par Z*, Z“, Zn», les distances des autres forces aux plans. Au point a, b, c, appliquons des forces égales et directement opposées , on aura alors un système triple de forces et qui fera le même effet que le premier, savoir : un système de forces situées dans le plan MN, et un système découplés situés dans des plans perpendiculaires aû.plan. MN.

II faut , pour qu’il y ait équilibre entre le système de -couples, que la somme de leurs momens soit nulle j et pour qu’il y ait équilibre ^ dans. les forces' situées dans le plan MN , il faut que la somme des forces soit nulle , et que la somme des momens, pris par rapport à un point quelconque, soit nulle aussi. (CXXXVII.) Soit K un point quelconque pris dans le plan M N ; si par le point K j’imagine un second plan perpen- JjjKcuIaire à MN et parallèle aux forces , il est ^évident que les distances du point K aux forces situées dans le plan MN, sont les mêmes que celles des forces situées dans l’espace à ce second plan.

Par conséquent , les conditions de l’équilibre se réduisent à trois ; 1°. il faut que la somme des forces soit nulle ; 20. il faut qu’en menant deux plans parallèles aux forces et perpendiculaires entre eux , la somme des momens pris par .

rapport à chacun de ces plans perpendiculaires entre eux soit nulle.

On appelle ici moment d*unc force j par'rap-

Dlgilized by Guu^le

MANUEL

port à un plan parallèle , le produit de cette force par la distance à ce plan.

CXÏiI. Il n’est pas même nécessaire que les deux plans soient perpendiculaires ; il suffit qu’ils se coupent et soient parallèles aux forces.

CXLII. Problème IV. Trouver la résultante d’un système de forces parallèles, et non situées dans un mémo plan , par la théorie des mo> mens.

Soit R la résultante cherchée ; elle est égale à la somme algébrique des forces, et est parallèle à ces forces ; il s’agit de trouver sa position. Supposons qu’il y ait en tout dix forces , si nous appliquons •— R à là résultante égale et directement opposée à R, alors ces onze forces seront en équilibre. Menons un plan quelconque parallèle aux forces , et désignons par Z*, zïï, z“*, etc. , ces distances des forces à ce plan, distances qui sont connue^ en désignant également par z la distance ifl connue de — R au plan , puisqu’il y a équilibre, on aura

pi al pu aii | etc. — R z = o -

d’où R Z = P^ Z* --j- etc.

pi aï -j- P^z” etc.

Z sera donc connu puisqu’il est égal à la somme des momens des composantes , divisée par la résultante ; menant donc un plan parallèle au premier, et qui en soit éloigné de la distance z» il renfermera nécessairehienl la force R.

DE MECANIQUE. gi

Je mène uir troisième plan qui coupe le premier et qui soit parallèle aux forces , on trouvera de même la distance de la résultante à ce plan ; menant un quatrième plan parallèle au troisième, il devra renfermer la résultante qui se trouve aussi dans le second plan , elle est donc dans rinlcrsectien du deuxième et du quatrième plan : elle est donc connue.

CXLIII. Problème V. Trouver les conditions d’équilibre d’un système de forces agissant dans l’espace, suivant des directions quelconques. {Figure 37 .)

Solution. Soient P*, P“, P^“, P*^ ces forces j soit un point A pris dans l’espace , je mène trois droites quelconques non situées dans un même plan , savoir î AX , A Y, A Z. Je décompose la force P* en trois forces X, Y, Z parallèles à ces forces ; décomposons de même les force's P**,' P”i, P*^en forces aüssi parallèles aux trois axes alors nous aurons trois systèmes de forces , savoir ; 1 ®. un système de forces X^ X“, X*“ pa-** rallèles à l’axe AX; a°. un système de forcés Y*, Y**, parallèles à A Y ; 3®. uU système de forces ZS Z“, Z“‘ parallèles à A Z. Pour que le système entier soit en équilibre , il faut que chaque système particulier soit en équilibre.

11 faut donc, i®. que la somme algébriqüe' des forces parallèles à X = o ; 2 ®. qtie la même condition ait lieu pour Y ; 3°. de même poür Z ;

4®. Que la somme des momens des forcés X*, X“, etc.’, par rapport aux plans XAT> XA Z, soit nulle; ■

MANUEL

5®. ^V/em•des Y* Y", par rapport aux plans YAX, YAZ, soit nulle;

6®. idem des Z», Z“, par rapport aux plans Z A X, Z A Y, soit nulle.

Ces six dernières conditions se réduisent à trois ; en effet ^ prenons pour fixer les idées les deux forces X* et Yi, elles fournissent deux couples dans le même plan XAY. Désignons par S la résultante de deux forces X* et Y* , le moment de ces deux couples situés dans un même plan est égal au moment de leur résultante S.

Faisant le même raisonnement pour les autres I forces , on aura une suite de couples résultans tous perpendiculaires à Taxe de Z ; et puisque les composantes sont en équilibre , il faut que la somme des mômens des forces S*, S“, par rapport à l’ax.e de Z , soit nulle , par conséquent il y, a deux conditions remplacées par une seule; en agissant de même pour les trois autres plans , on n’aura plus que trois conditions. Les forces S*, S“, sont les projections des forces P‘, P“, sur le plan XAY.

CXLIV. Donc, en résumé, pour qu’un système de forces soit en équilibre , il faut , en général , qu’en menant par un même point trois axes quelconques non situés dans un même plan , que la somme des' forces , décomposée parallèlement à chacun de ces axes , soit nulle ; 5®. en projetant toutes ces forces sur des plans perpendiculaires à un des axes , et multipliant ensuite chacune des forces projetées par sa

distance à cet axe, la somme des produits doit être nulle.