P M VD^V

CLXXX C^w). Trouver le centre de ^aVîtè du périmètre d’un polygone.

■{Fig, 1^6). Soit AB CD EF le périmètre du polygoue dotrt il font frouyer. le ceUtré de

gravité. ^ '

Première solution. Pâr la composition des' fôrces , nous avons ici six lignes A B,”B C , etc., liées entre, elles d’une manière invariable, et nous connaissons le Centre de gravité de chacune deS' lignes; ils sont sitües a leurs milieux.

Soit L la longueur de AB , et D'sà“ dehsüé ,

1 l6 ' MANUEL

X' la longueur de B C , et D' sa densitô > h" la longueur de G D , et D* sa densité ; je mène là ligne A B , que je partage en partiesréciproquement proportionnelles à LD et à 1 / D'. Soit K le point de partage ; je mène K.C, que je divise de même en parties réciproquement proportionnelles à LD-f-L'D' et L"D", et ainsi de suite, et le point M sera le point demandé.

Si tous les côtés ont même densité , il suffît de les partager en parties, proportionnelles à leurs longueurs.

Deuxième solution. Par les momensji on voit quelle serait la marche à suivre pour trouver * le centre de gravité. Tous les ceqtres de gravité partiels étant dans un même plan, il suffira d*en choisir deux autres perpendiculaires aa plan donné.

CLXXXI. Il est évident que le ' centre de ' gravité d’ùne circonférence est à son centre, et en général le centre de gravité du périmètre d^une figure qui a un centre se confond avec ce centre.

CLXXXII. Trouver le centre de gravité de l'airé d’un polygone de densité uniforme.

Soit 'AB CD E ie polygone 47), je le partage en triangles par des diagonales menées d’un de' ses sommets. Je cherche d’abord les cemtres dé gravité a, b, c, etc., des triangles.

.. Première solution. Par la • composition des forces; je joins le point a au point ô, et je divise a b eii parties réciproquement proportion-*

t)E MECM^QUE. II7

selles aux aires des triangles A £ D , A D C , et ainsi de suite.

Deuxième solution. Par les mômens... (Voir page II 3 .)

CLXXXIII. Le centre de gravité de Taire d’un polygone régulier, de Taire de la circonférence , de Taire de la sphère , est à leur centre de figure.

CLXXXIV. Trouver le centre de gravité d’une pyramide polygonale de densité uniforme. .Soit une pyramide pentagonale {^figure 48 ) , je la décompose en trois pyramides triangulaires ; je cherche le centre de gravité de chacune : tous ces centres de gravité se trouveront dans le même plan II'I” ; mais, en raisonnant comme au Problème CLXXVII , le centre de gravité de^ra aussi se trouver sur la ligne S M qui joint le centre de gravité de la base avec le sommet S de là pyramide. Le • . •

centre de gravité se trouvera donc à l’intersection du plan et de la ligne; mais cette ligne étant aussi coupée proportionnellément , le . centre de gravité sera au quart de S M en partant de la base , ou aux trois quarts en partant du sommet. * ’ t

, CLXXXIV bis. Le centre de gravité d’un cône est donc , à partir de la base , au* quart de la ligne qui joint son sommet avec le centre de gravité de sa base.

CLXXXV. Trouver le centre de gravité d*un polyèdre quelconque ; on prend uli point dans l’intérieur du polyèdre; oh mène de ce point

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des lignes à tous les sommets , et il se trouvera aiAsi partagé en un certain nombre de pyramides polygonales; or, on sait trouver le centre de gravité de chacune de ces pyramides et de leur système ou du polyèdre. (Voir note 6.)